Usor:Trlit/DA/WIP

List of articles (up to sectio quarta):

Sectio prima	art. 1 art. 2 art. 3 art. 4 art. 5 art. 6 art. 7 art. 8 art. 9 art. 10 art. 11 art. 12
Sectio secunda	art. 13 art. 14 art. 15 art. 16 art. 17 art. 18 art. 19 art. 20 art. 21 art. 22 art. 23 art. 24 art. 25 art. 26 art. 27 art. 28 art. 29 art. 30 art. 31 art. 32 art. 33 art. 34 art. 35 art. 36 art. 37 art. 38 art. 39 art. 40 art. 41 art. 42 art. 43 art. 44
Sectio tertia	art. 45 art. 46 art. 47 art. 48 art. 49 art. 50 art. 51 art. 52 art. 53 art. 54 art. 55 art. 56 art. 57 art. 58 art. 59 art. 60 art. 61 art. 62 art. 63 art. 64 art. 65 art. 66 art. 67 art. 68 art. 69 art. 70 art. 71 art. 72 art. 73 art. 74 art. 75 art. 76 art. 77 art. 78 art. 79 art. 80 art. 81 art. 82 art. 83 art. 84 art. 85 art. 86 art. 87 art. 88 art. 89 art. 90 art. 91 art. 92 art. 93
Sectio quarta	art. 94 art. 95 art. 96 art. 97 art. 98 art. 99 art. 100 art. 101 art. 102 art. 103 art. 104 art. 105 art. 106 art. 107 art. 108 art. 109 art. 110 art. 111 art. 112 art. 113 art. 114 art. 115 art. 116 art. 117 art. 118 art. 119 art. 120 art. 121 art. 122 art. 123 art. 124 art. 125 art. 126 art. 127 art. 128 art. 129 art. 130 art. 13 art. 132 art. 133 art. 134 art. 135 art. 136 art. 137 art. 138 art. 139 art. 140 art. 141 art. 142 art. 143 art. 144 art. 145 art. 146 art. 147 art. 148 art. 149 art. 150 art. 151 art. 152

SECTIO SEXTA

VARIAE DISQUISITIONUM PRAECEDENTIUM APPLICATIONES.

308.

Quam fertilis sit arithmetica sublimior veritatibus, quae in aliis quoque matheseos partibus usum praestent, pluribus iam passim locis addigitavimus; quasdam vero applicationes, quae expositionem ampliorem merentur, seorsim tractare non inutile duximus, non tam ut hoc argumentum, quo plura volumina facile impleri possent, exhauriatur, quam potius ut per aliqua specimina illustretur. In hacce quidem Sectione primo de resolutione fractionum in simpliciores agemus; dein de conversione fractionum communium in decimales ; tum methodum novam exclusionis explicabimus, solutioni aequationum indeterminatarum secundi gradus inservientem; tandem methodos novas expeditas trademus, numeros primos a compositis dignoscendi, horumque factores explorandi. In Sectione sequente autem theoriam generalem generis peculiaris functionum, per totam analysin latissime patentis, quatenus cum arithmetica sublimiori arctissime connexa est, stabiliemus, imprimisque theoriam sectionis circuli, cuius prima tantum elementa hactenus innotuerunt, novis incrementis amplificare studebimus.

Resolutio fractionum in simpliciores.

309.

Problema. Fractionem ${\tfrac {m}{n}}$ , cuius denominator $n$ est productum e duobus numeris inter se primis $a$ , $b$ , in duas alias discerpere, quarum denominatores sint $a$ , $b$ .

Sol. Sint fractiones quaesitae ${\tfrac {x}{a}}$ , ${\tfrac {y}{b}}$ , fierique debebit $bx+ay=m$ ; hinc $x$ erit radix congruentiae $\textstyle bx\equiv m{\pmod {a}}$ , quae per Sect. II erui poterit, $y$ vero fiet $={\tfrac {m-bx}{a}}$ .

Ceterum constat, congruentiam $\textstyle bx\equiv m$ radices infinite multas, sed secundum $a$ congruas, habere, unica vero tantum positiva minorque quam $a$ dabitur; fieri autem potest etiam, ut $y$ evadat negativus. Vix necesse erit monere, $y$ etiam per congruentiam $\textstyle ay\equiv m{\pmod {b}}$ , atque $x$ per aequationem $x={\tfrac {m-ay}{b}}$ inveniri posse. E. g. proposita fractione 58/77, erit 4 valor expr. 58/11 (mod. 7), unde 58/77 resolvitur in 4/7+2/11.

310.

Si fractio ${\tfrac {m}{n}}$ proponitur, cuius denominator $n$ est productum e factoribus quotcunque inter se primis $a$ , $b$ , $c$ , $d$ etc. : per art. praec. primo in duas resolvi potest, quarum denominatores sint $a$ et $bcd$ etc.; secunda iterum in duas denominatorum $b$ et $cd$ etc.; posterior rursus in duas et sic porro, unde tandem fractio proposita sub hanc formam redigetur $\textstyle {\frac {m}{n}}={\frac {\alpha }{a}}+{\frac {\beta }{b}}+{\frac {\gamma }{c}}+{\frac {\delta }{d}}+$ etc. Numeratores $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ etc. manifesto positivos ac denominatoribus suis minores accipere licebit, praeter ultimum, qui reliquis determinatis non amplius est arbitrarius, atque etiam negativus aut denominatore maior fieri potest (siquidem non supponimus $m<n$ ). Tum plerumque e re erit, ipsum sub formam ${\tfrac {\varepsilon }{e}}\mp k$ redigere, ita ut $\varepsilon$ sit positivus ac minor quam $e$ , $k$ vero integer. Denique patet, $a$ , $b$ , $c$ etc. ita accipi posse, ut sint vel numeri primi vel numerorum primorum potestates.

Ex. Fractio 391/924, cuius denominator =4.3.7.11 hoc modo resolvitur in 1/4+40/231; 40/231 in 2/3−38/77; −38/77 in 1/7−7/11; unde, scribendo 4/11−1 pro −7/11 fit 391/924 = 1/4+2/3+1/7+4/11−1.

311.

Fractio ${\tfrac {m}{n}}$ unico tantum modo sub formam ${\tfrac {\alpha }{a}}+{\tfrac {\beta }{b}}+$ etc. $\mp k$ reduci potest, ita ut $\alpha$ , $\beta$ etc. sint positivi ac minores quam $a$ , $b$ etc. scilicet supponendo $\textstyle {\frac {m}{n}}={\frac {\alpha }{a}}+{\frac {\beta }{b}}+{\frac {\gamma }{c}}+$ etc. $\textstyle \mp k={\frac {\alpha '}{a}}+{\frac {\beta '}{b}}+{\frac {\gamma '}{c}}+$ etc. $\mp k'$ atque etiam $\alpha '$ , $\beta '$ etc. positivos ac minores quam $a$ , $b$ etc., necessario erit $\alpha =\alpha '\!$ , $\beta =\beta '\!$ , $\gamma =\gamma '\!$ etc., $k=k'\!$ . Multiplicando enim per $n=abc$ etc., patet fieri $m\equiv \alpha bcd$ etc. $\equiv \alpha 'bcd$ etc. $\!\!\textstyle {\pmod {a}}\!\!$ , unde, quoniam $bcd$ etc. ad $a$ primus est, necessario $\alpha \equiv \alpha '\!$ adeoque $\alpha =\alpha '\!$ , et perinde $\beta =\beta '\!$ etc., unde etiam sponte $k=k'\!$ . Iam quum prorsus arbitrarium sit, cuiusnam denominatoris numerator primus supputetur, manifestum est, omnes numeratores ita investigari posse, ut $\alpha$ in art. praec., puta $\beta$ per congruentiam $\beta acd$ etc. $\textstyle \equiv m{\pmod {b}}$ , $\gamma$ per hanc $\gamma abd$ etc. $\textstyle \equiv m{\pmod {c}}$ etc.; summa omnium fractionum sic inventarum vel propositae ${\tfrac {m}{n}}$ aequalis erit, vel differentia numerus integer $=k$ , qua via simul confirmationem calculi nanciscimur. Ita in ex. art. praec. valores expr. 391/231 (mod. 4), 391/208 (mod. 3), 391/132 (mod. 7), 391/84 (mod. 11) statim suppeditant numeratores 1, 2, 1, 4 denominatoribus 4, 3, 7, 11 respondentes, summaque harum fractionum propositam unitate superare invenitur.

Conversio fractionum communium in decimales.

312.

Definitio. Si fractio communis in decimalem convertitur, seriem figurarum decimalium^[1] (excluso si quis adest numero integro), sive finita sit, sive in infinitum excurrat, fractionis mantissam vocamus, expressionem, alias tantummodo apud logarithmos usitatam, in significatione latiori accipientes. Ita e. g. fractionis 1/8 mantissa est 125, mantissa fractionis 35/16 1875, fractionis 2/37 mantissa 054054… in inf.

Ex hac definitione statim patet, fractiones eiusdem denominatoris ${\tfrac {l}{n}}$ , ${\tfrac {m}{n}}$ easdem vel diversas mantissas habere, prout numeratores $l$ , $m$ secundum $n$ congrui sint vel incongrui. Mantissa finita non mutatur, si ad dextram cifrae quotcunque apponantur. Mantissa fractionis ${\tfrac {10m}{n}}$ obtinetur, rescindendo a mantissa fractionis ${\tfrac {m}{n}}$ figuram primam et generaliter mantissa fractionis ${\tfrac {10^{\nu }m}{n}}$ invenitur rescindendo $\nu$ figuras primas mantissae ipsius ${\tfrac {m}{n}}$ . Mantissa fractionis ${\tfrac {1}{n}}$ statim figura significativa (i. e. a cifra diversa) incipit, si $n$ non $>10$ ; si vero $n>10$ ac nulli potestati ipsius $10$ aequalis, multitudoque figurarum e quibus constat est $k$ , primae $k-1$ figurae mantissae ipsius ${\tfrac {1}{n}}$ erunt cifrae atque demum sequens $k$ ^ta erit significativa. Hinc facile deducitur, si ${\tfrac {l}{n}}$ , ${\tfrac {m}{n}}$ mantissas diversas habeant (i. e.

↑ Brevitatis caussa disquisitionem sequentem ad systema vulgare decadicum restringimus, quum facile ad quodvis aliud extendi possit.

[1] Brevitatis caussa disquisitionem sequentem ad systema vulgare decadicum restringimus, quum facile ad quodvis aliud extendi possit.

[1]