Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/71

61

theorema wilsonianum.

derationi coëfficientium ex evolutione producti $x+1\ .\ x+2\ .\ x+3\ .\ \ldots \ .\ x+p-1$ oriundorum. Scilicet posito hoc producto $\equiv x^{p-1}+Ax^{p-2}+Bx^{p-3}+\mathrm {etc.} +Mx+N$ coëfficientes $A$, $B$ etc. $M$ per $p$ erunt divisibiles, $N$ vero erit $=1\,.\,2\,.\,3\,.\ldots \,p-1$. Iam pro $x=1$, productum per $p$ divisibile; tunc autem erit $\textstyle \equiv 1+N{\pmod {p}}$; quare necessario $1+N$ per $p$ dividi poterit.

Denique ill. Euler in Opusc. analyt. T. I. p. 329 demonstrationem dedit, cum ea quam nos hic exposuimus conspirantem. Quodsi tales viri theorema hoc mediationibus suis non indignum censuerunt, non improbatum iri speramus, si aliam adhuc demonstrationem apponimus.

77.

Quando secundum modulum $p$, productum duorum numerorum $a$, $b$ unitati est congruum, numeros $a$, $b$ cum ill. Euler socios vocemus. Tum secundum sect. praec. quivis numerus positivus ipso $p$ minor socium habebit positivum ipso $p$ minorem et quidem unicum. Facile autem probari potest ex numeris $1,2,3\ldots p-1$; $1$ et $p-1$ esse unicos qui sibi ipsis sint socii: numeri enim sibi ipsis socii, radices erunt congruentiae $xx\equiv 1$; quae quoniam est secundi gradus, plures quam duas radices, i. e. alias quam $1$ et $p-1$ habere nequit. Abiectis itaque his numerorum reliquorum $2,3\ldots p-2$ bini semper erunt associati; quare productum ex ipsis erit $\equiv 1$ adeoque productum ex omnibus $1,2,3\ldots p-1$, $\equiv p-1$ sive $\equiv -1$. Q. E. D.

Ex. gr. pro $p\equiv 13$ numeri $2,3,4\ldots 11$ ita associantur: $2$ cum $7$ ; $3$ cum $9$; $4$ cum $10$; $5$ cum $8$; $6$ cum $11$; scilicet $2\ .\ 7\equiv 1$ ; $3\ .\ 9\equiv 1$ etc. Hinc $2\ .\ 3\ .\ 4\ldots 11\equiv 1$; adeoque $1\ .\ 2\ .\ 3\ldots 12\equiv -1$.

78.

Potest autem theorema Wilsonianum generalius sic proponi. Productum ex omnibus numeris, numero quocunque dato $A$ minoribus simulque ad ipsum primis, congruum est secundum $A$ unitati vel negative vel positive sumtae. Negative sumenda est unitas, quando $A$ est formae $p^{m}\!$, aut huiusce $2p^{m}\!$, designante $p$ nume-