Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/78

Haec pagina emendata est
68
de residuis potestatum.

At quoniam per divisibilis, etiam per divisibilis erit in omnibus casibus excepto eo ubi de quo iam in art. praec. monuimus. In reliquis autem casibus erit , adeoque etiam illud aggregatum ut in art. praec. In reliquis demonstratio hic eodem modo procedit ut istic.

Colligimus igitur generaliter, unico casu excepto, esse et non pro quovis modulo qui sit altior potestas ipsius , quam haec , quoties quidem per non est divisibilis, atque potestas suprema ipsius quae numerum dividit.

Hinc protinus derivantur propositiones 1. et 2, quas art. 85 demonstrandas nobis proposueramus: scilicet

primo, si , erit etiam ;

secundo si numerus aliquis ipsi adeoque etiam ipsi secundum modulum congruus, neque vero huic secundum modulum , congruentiae satisfaceret , ponamus esse ita ut per non sit divisibilis, eritque , tunc autem secundum modulum ipsi congruus erit, non autem secundum modulum , quae est altior potestas, quare radix congruentiae esse nequit.


88.

Tertium vero fuit radicem aliquam congruentiae , ipsi congruam, invenire. Ostendemus hic tantummodo, quomodo hoc fieri possit, si iam radix eiusdem congruentiae secundum modulum innotuerit; manifesto hoc sufficit, quum a modulo pro quo est radix, ad modulum , sicque deinceps ad omnes potestates consecutivas progredi possimus.

Esto itaque radix congruentiae , quaeriturque radix eiusdem congruentiae secundum modulum , ponatur haec , quam formam eam habere debere ex art. praec. sequitur (casum ubi