Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/30

20

de congruentiis primi gradus.

nostra congruentia $ax+b\equiv c$ alias resolutiones non admittat, pronunciabimus, unico tantum modo eam esse resolubilem seu unam tantum radicem habere. Ita e. g. congruentia $\textstyle 6x+5\equiv 13{\pmod {11}}$ alias radices non admittit, quam quae sunt $\textstyle \equiv 5{\pmod {11}}$. Haud perinde res se habet in congruentiis aliorum graduum, sive etiam in congruentiis primi gradus, ubi incognita per numerum est multiplicata, ad quem modulus non est primus.

27.

Superest, ut de invenienda resolutione ipsa congruentiae huiusmodi quaedam adiiciamus. Primo observamus, congruentiam formae $ax+t\equiv u$, cuius modulum ad $a$ primum supponimus, ab hac $ax\equiv \pm 1$ pendere: si enim huic satisfacit $x\equiv r$, illi satisfaciet $x\equiv \pm (u-t)r$. At congruentiae $ax\equiv \pm 1$, modulo per $b$ designato, aequivalet aequatio indeterminata $ax=by\pm 1$, quae quomodo sit solvenda hoc quidem tempore abunde est notum; quare nobis sufficiet, calculi algorithmum huc transscripsisse.

Si quantitates $A,B,C,D,E$ etc. ita ab his $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ etc. pendent, ut habeatur $A=\alpha$, $\,B=\beta A\!+\!1$, $\,C=\gamma B\!+\!A$, $\,D=\delta C\!+\!B$, $\,E=\epsilon D\!+\!C$ etc. brevitatis gratia ita eas designamus, $A=[\alpha ]$, $\quad B=[\alpha ,\beta ]$, $\quad C=[\alpha ,\beta ,\gamma ]$, $\quad D=[\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ]$ etc.^[1] Iam proposita sit aequatio indeterminata $ax=by\pm 1$, ubi $a,b$ positivi. Supponamus, id quod licet, $a$ esse non $<b$. Tum ad instar algorithmi noti, secundum quem duorum numerorum divisor communis maximus investigatur, formentur per divisionem vulgarem aequationes $a=\alpha b+c$, $\quad b=\beta c+d$, $\quad c=\gamma d+e$ etc. ita ut $\alpha ,\beta ,\gamma$ etc. $c,d,e$ etc. sint integri positivi, et $b,c,d,e$ continuo decrescentes, donec perveniatur ad $m=\mu n+1$

---

1. Multo generalius haecce relatio considerari potest, quod negotium alia forsan occasione suscipiemus. Hic duas tantum propositiones adiicimus, quae usum suum in praesenti investigatione habent; scilicet

   1°. $[\alpha ,\beta ,\gamma \ldots \lambda ,\mu ].[\beta ,\gamma \ldots \lambda ]-[\alpha ,\beta ,\gamma \ldots \lambda ][\beta ,\gamma \ldots \lambda ,\mu ]=\pm 1$ ubi signum superius accipiendum, quando numerorum $\alpha ,\beta ,\gamma \ldots \lambda ,\mu$ multitudo par, inferius, quando impar.

   2°. Numerorum $\alpha ,\beta ,\gamma$ etc. ordo inverti potest, $[\alpha ,\beta ,\gamma \ldots \lambda ,\mu ]=[\mu ,\lambda \ldots \gamma ,\beta ,\alpha ]$. Demonstrationes quae non sunt difficiles hic supprimimus.