Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/29

Haec pagina emendata est

19

solutio congruentiarum.

24.

Expressio $ax+b$ , denotantibus $a,b$ numeros datos, $x$ numerum indeterminatum seu variabilem, secundum modulum $m$ , ad $a$ primum, cuivis numero dato congrua fieri potest.

Sit numerus, cui congrua fieri debet, $c$ , et residuum minimum positivum ipsius $c-b$ secundum modulum $m,e$ . Ex art. praec. necessario datur valor ipsius $x<m$ , talis, ut producti $ax$ secundum modulum $m$ residuum minimum fiat $e$ ; esto hic valor $v$ , eritque $av\equiv e\equiv c-b$ ; unde $\textstyle av+b\equiv c{\pmod {m}}$ . Q. E. F.

25.

Expressionem duas quantitates congruas exhibentem ad instar aequationum, congruentiam vocamus; quae si incognitam implicat, resolvi dicitur, quando pro hac valor invenitur congruentiae satisfaciens (radix). Hinc porro intelligitur, quid sit congruentia resolubilis et congruentia irresolubilis. Tandem facile perspicitur similes distinctiones locum hic habere posse uti in aequationibus. Congruentiarum transscendentium infra exempla occurrent; algebraicae vero secundum dimensionem maximam incognitae in congruentias primi, secundi altiorumque graduum distribuuntur. Nec minus congruentiae plures proponi possunt plures incognitas involventes, de quarum eliminatione disquirendum.

Solutio congruentiarum primi gradus.

26.

Congruentia itaque primi gradus $ax+b\equiv c$ ex art. 24 semper resolubilis, quando modulus ad $a$ est primus. Quodsi vero $v$ fuerit valor idoneus ipsius $x$ , sive radix congruentiae, palam est, omnes numeros, ipsi $v$ secundum congruentiae propositae modulum congruos, etiam radices fore (art. 9). Neque minus facile perspicitur, omnes radices ipsi $v$ congruos esse debere: si enim alia radix fuerit $t$ , erit $av+b\equiv at+b$ , unde $av\equiv at$ , et hinc $v\equiv t$ (art. 22). Hinc colligitur, congruentiam $\textstyle x\equiv v{\pmod {m}}$ exhibere resolutionem completam congruentiae $ax+b\equiv c$ .

Quia resolutiones congruentiae per valores ipsius $x$ congruos per se sunt obviae, atque, hoc respectu, numeri congrui tamquam aequivalentes considerandi, tales congruentiae resolutiones pro una eademque habebimus. Quamobrem quum

3*