Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/36

26

de congruentiis primi gradus

$\qquad z\equiv \$	$\ 17{\pmod {9}}$	unde colligitur $z\equiv 3041{\pmod {5040}}$
	$-4{\pmod {5}}$
	$-4{\pmod {7}}$
	$\quad \!33{\pmod {16}}$

Ceterum palam est, plerumque commodius fore, si de conditionibus remanentibus eae quae ex una eademque conditione evolutae erant seorsim recolligantur, quum hoc nullo negotio fieri possit; e. g. quando ex conditionibus $\textstyle z\equiv a{\pmod {A'}}$, $\textstyle z\equiv a{\pmod {A''}}$ etc. aliquae abierunt: quae ex reliquis restituitur, haec erit, $z\equiv a$ secundum modulum, qui est productum omnium modulorum ex $A',A'',A'''$ etc. remanentium. Ita in nostro exemplo ex conditionibus $\textstyle z\equiv -4{\pmod {5}}$, $\textstyle z\equiv -4{\pmod {7}}$ ea ex qua ortae erant $\textstyle z\equiv -4{\pmod {35}}$ sponte restituitur. Porro hinc sequitur, haud prorsus perinde esse, quaenam ex conditionibus superfluis reiiciantur, quantum ad calculi brevitatem: sed haec aliaque artificia practica, quae ex usu multo facilius quam ex praeceptis ediscuntur, hic tradere non est instituti nostri.

36.

Quando omnes moduli $A,B,C,D$ etc. inter se sunt primi, sequenti methodo saepius praestat uti. Determinetur numerus $\alpha$ secundum $A$ unitati, secundum reliquorum modulorum productum vero cifrae congruus, sive sit $\alpha$ valor quicunque (plerumque praestat minimum accipere) expressionis $\textstyle {\frac {1}{BCD\mathrm {\ etc.} }}{\pmod {A}}$ per $BCD$ etc. multiplicatus (vid. art. 32); similiter sit $\textstyle \beta \equiv 1{\pmod {B}}$ et $\textstyle \equiv 0{\pmod {ACD\mathrm {\ etc.} }}$, $\textstyle \gamma \equiv 1{\pmod {C}}$ et $\textstyle \equiv 0{\pmod {ABD\mathrm {\ etc.} }}$, etc. Tunc si numerus $z$ desideratur, qui secundum modulos $A,B,C,D$ etc. numeris $a,b,c,d$ etc. respective sit congruus, poni poterit$z\equiv \alpha a+\beta b+\gamma c+\delta d\mathrm {\ etc.} {\pmod {ABCD\mathrm {\ etc.} }}$Manifesto enim, $\textstyle \alpha a\equiv a{\pmod {A}}$; reliqua autem membra $\beta b,\gamma c$ etc. omnia $\textstyle \equiv 0{\pmod {A}}$: quare $z\equiv a{\pmod {A}}$. Similiter de reliquis modulis demonstratio adornatur. Haec solutio priori praeferenda, quando plura huiusmodi problemata sunt solvenda, pro quibus moduli $A,B,C$ etc. valores suos retinent; tunc enim numeri $\alpha ,\beta ,\gamma$ etc., valores constantes nanciscuntur. Hoc usu venit in problemate chronologico ubi quaeritur, quotus in periodo Juliana sit annus, cuius indictio, numerus aureus, et cyclus solaris dantur. Hic $A=15$, $B=19$, $C=28$; quare,