Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/33

23

solutio congruentiarum

iterum secundum modulum $2$ solvitur, fit ${\textstyle x'\equiv 1{\pmod {2}}}$, positoque $x'=1+2x''\!$, fit ${\textstyle 38x''\equiv -28{\pmod {70}}}$ sive ${\textstyle 19x''\equiv }$ ${\textstyle -14{\pmod {35}}}$. Haec secundum $5$ soluta dat ${\textstyle x''\equiv 4{\pmod {5}}}$, substitutoque $x''=4+5x'''\!$, fit ${\textstyle 95x'''\equiv -90{\pmod {35}}}$ sive ${\textstyle 19x'''}$ ${\textstyle \equiv -18{\pmod {7}}}$. Ex hac tandem sequitur, ${\textstyle x'''\equiv 2{\pmod {7}}}$, positoque $x'''=2+7x''''\!$ colligitur $x=59+140x''''\!$; quare ${\textstyle x\equiv 59{\pmod {140}}}$ est solutio completa congruentiae propositae.

31.

Simili modo ut aequationis $ax=b$ radix per $\textstyle {\frac {b}{a}}$ exprimitur, etiam congruentiae $ax\equiv b$ radicem quamcunque per $\textstyle {\frac {b}{a}}$ designabimus, congruentiae modulum, distinctionis gratia, apponentes. Ita e. g. $\textstyle {\frac {19}{17}}{\pmod {12}}$ denotat quemvis numerum, qui est $\textstyle \equiv 11{\pmod {12}}$^[1]. Generaliter ex praecedentibus patet, $\textstyle {\frac {b}{a}}{\pmod {c}}$ nihil reale significare (aut si quis malit aliquid imaginarii), si $a$, $c$ habeant divisorem communem, qui ipsum $b$ non metiatur. At hoc casu excepto, expressio $\textstyle {\frac {b}{a}}{\pmod {c}}$ semper valores reales habebit, et quidem infinitos: hi vero omnes secundum $c$ erunt congrui, quando $a$ ad $c$ primus, aut secundum $\textstyle {\frac {c}{\delta }}$, quando $\delta$ numerorum $c$, $a$ divisor communis maximus.

Hae expressiones similem fere habent algorithmum ut fractiones vulgares. Aliquot proprietates quae facile ex praecedentibus deduci possunt hic apponimus.

1. Si secundum modulum $c$, $a\equiv \alpha$, $b\equiv \beta$ expressiones $\textstyle {\frac {a}{b}}{\pmod {c}}$ et $\textstyle {\frac {\alpha }{\beta }}{\pmod {c}}$ sunt aequivalentes.
2. $\textstyle {\frac {a\delta }{b\delta }}{\pmod {c\delta }}$ et $\textstyle {\frac {a}{b}}{\pmod {c}}$ sunt aequivalentes.
3. $\textstyle {\frac {ak}{bk}}{\pmod {c}}$ et $\textstyle {\frac {a}{b}}{\pmod {c}}$ sunt aequivalentes, quando $k$ ad $c$ est primus.

Multae aliae similes propositiones afferri possent: at quum nulli difficultati sint obnoxiae, neque ad sequentia adeo necessariae, ad alia properamus.

De inveniendo numero secundum modulos datos residuis datis congruo.

32.

Problema, quod magnum in sequentibus usum habebit, invenire omnes numeros, qui secundum modulos quotcunque datos residua data praebent, facile ex praecedentibus

solvi potest. Sint primo duo moduli $A$, $B$, secundum quos numerus

1. id quod ex analogia per $\textstyle {\frac {11}{1}}{\pmod {12}}$ designari potest.