Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/68

58

de residuis potestatum.

Methodus radices primitivas assignandi.

73.

Methodi radices primitivas inveniendi maximam partem tentando innituntur. Si quis ea quae art. 55 docuimus cum iis quae infra de solutione congruentiae $x^{n}\equiv 1$ trademus confert, omnia fere, quae per methodos directas effici possunt, habebit. Ill. Euler confitetur, Opusc. Analyt. T. I. p. 152, maxime difficile videri, hos numeros assignare, eorumque indolem ad profundissima numerorum mysteria esse referendam. At tentando satis expedite sequenti modo determinari possunt. Exercitatus operationis prolixitati per multifaria artificia particularia succurrere sciet: haec vero per usum multo citius quam per praecepta ediscuntur.

1°. Assumatur ad libitum numerus ad $p$ (ita semper modulum designamus) primus, $a$, (plerumque ad calculi brevitatem conducit, si quam minimum accipimus, ex. gr. numerum $2$) determineturque eius periodus (art. 46), i. e. residua minima ipsius potestatum, donec ad potestatem $a^{t}\!$ perveniatur, cuius residuum minimum sit $1$^[1]. Iam si fuerit $t=p-1$, $a$ est radix primitiva.

2°. Si vero $t<p-1$, accipiatur alius numerus $b$ in periodo ipsius $a$ non contentus, investigeturque simili modo huius periodus. Designate exponente ad quem $b$ pertinet per $u$, facile perspicitur $u$ neque ipsi $t$ aequalem neque ipsius partem aliquotam esse posse, in utroque enim casu fieret $b^{t}\equiv 1$, quod esse nequit, quum periodus ipsius $a$ omnes numeros amplectatur, quorum potestas exponentis $t$ unitati congrua (art. 53). Quodsi $u$ fuerit $=p-1$, erit $b$ radix primitiva; si vero $u$ non quidem $=p-1$, sed tamen multiplum ipsius $t$, id lucrati sumus, ut numerus constet ad exponentem maiorem pertinens, adeoque scopo nostro, qui est invenire numerum ad exponentem maximum pertinentem, propiores iam simus. Si vero $u$ neque $=p-1$, neque ipsius $t$ multiplum, tamen numerum invenire possumus ad exponentem ipsis $t$, $u$ maiorem pertinentem, nempe ad exponentem minimo dividuo communi numerorum $t$, $u$ aequalem. Sit hic $=y$, resolvaturque $y$ ita in duos factores inter se primos, $m$, $n$, ut alter ipsum $t$, alter ipsum $u$ metiatur^[2]. Tum fiat potestas ${\tfrac {t}{m}}$^ta ipsius $a$, $\equiv A$, pote-

1. Quisquis sponte perspiciet, non opus esse has potestates ipsas novisse, quum cuiusvis residuum minimum facile ex residuo minimo potestatis praecedentis obtineri possit.
2. Quomodo hoc fieri possit, ex art. 18 haud difficulter derivatur. Resolvatur $y$ in factores tales, qui sint aut numeri primi diversi aut numerorum primorum diversorum potestates. Horum quisque alterutrum nu-