Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/26

Haec pagina emendata est

16

de congruentiis primi gradus

17.

Si itaque numerus compositus $A$ est productum ex $B,C,D$ etc., patet, inter factores primos numerorum $B,C,D$ etc. alios esse non posse, quam qui etiam sint inter factores numeri $A$ , et quemvis horum factorum toties in $B,C,D$ etc. coniunctim occurrere debere, quoties in $A$ . Hinc colligitur criterium, utrum numerus $B$ alium $A$ metiatur, necne. Illud eveniet, si $B$ neque alios factores primos, neque ullum pluries involvit, quam $A$ ; quarum conditionum si aliqua deficit, $B$ ipsum $A$ non metietur.

Facile hinc calculi combinationum auxilio derivari potest, si $A=a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }$ etc. designantibus ut supra $a,b,c$ etc. numeros primos diversos: $A$ habere $(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)\$ etc. divisores diversos, inclusis etiam $1$ et $A$ .

18.

Si igitur $A=a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\!$ etc., $K=k^{\kappa }l^{\lambda }m^{\mu }\!$ etc., atque primi $a,b,c$ etc., $k,l,m$ etc. omnes diversi, patet $A$ et $K$ divisorem communem praeter $1$ non habere, sive inter se esse primos.

Pluribus numeris $A,B,C$ etc. propositis maxima omnibus communis mensura ita determinatur. Resolvantur omnes in suos factores primos, atque ex his excerpantur ii, qui omnibus numeris $A,B,C$ etc. sunt communes (si tales non adsunt, nullus divisor erit omnibus communis). Tum quoties quisque horum factorum primorum in singulis $A,B,C$ etc. contineatur, sive quot dimensiones in singulis $A,B,C$ etc. quisque habeat, adnotetur. Tandem singulis factoribus primis tribuantur dimensiones omnium quas in $A,B,C$ etc. habent minimae, componaturque productum ex iis, quod erit mensura communis quaesita.

Quando vero numerorum $A,B,C$ etc. minimus communis dividuus desideratur, ita procedendum. Colligantur omnes numeri primi, qui numerorum $A,B,C$ etc. aliquem metiuntur, tribuatur cuivis dimensio omnium quas in numeris $A,B,C$ etc. habet maxima, sicque ex omnibus productum confletur, quod erit dividuus quaesitus.

Ex. Sit $A=504=2^{3}3^{2}7$ , $B=2880=2^{6}3^{2}5$ ; $C=864=2^{5}3^{3}$ . Pro inveniendo divisore communi maximo habentur factores primi $2,3$ , quibus dimensiones $3,2$ tribuendi; unde fiet $=2^{3}3^{2}=72$ ; dividuus vero communis minimus erit $2^{2}3^{3}5.7=60480$ .