Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/54

44

de residuis potestatum.

ponentis $d$ congruae sint unitati. Hinc patet, omnes numeros ad exponentem $d$ pertinentes inter residua minima numerorum $a,aa,a^{3}\ldots a^{d}\!$ reperiri. Quales vero sint, quantaque eorum multitudo, ita definitur. Si $k$ est numerus ad $d$ primus, omnes potestates ipsius $a^{k}\!$, quarum exponentes $<d$ , unitati non erunt congrui: esto enim $\textstyle {\scriptstyle {\frac {1}{k}}}{\pmod {d}}\equiv m$ (vid. art. 31) eritque $a^{km}\equiv a$; quare si potestas $e^{\mathrm {ta} }\!$ ipsius $a^{k}\!$ unitati esset congrua atque $e<d$, foret etiam $a^{kme}\equiv 1$ et hinc $a^{e}\equiv 1$ contra hyp. Hinc manifestum est, residuum minimum ipsius $a^{k}\!$ ad exponentem $d$ pertinere. Si vero $k$ divisorem aliquem, $\delta$, cum $d$ communem habet, ipsius $a^{k}$ residuum minimum ad exponentem $d$ non pertinet; quoniam tum potestas $\textstyle {\frac {d^{\mathrm {ta} }}{\delta }}$ iam unitati fit congrua (erit enim $\textstyle {\frac {kd}{\delta }}$ per $d$ divisibilis, sive $\textstyle \equiv 0{\pmod {d}}$ adeoque $\textstyle {\frac {kd}{\delta }}\equiv 1$). Hinc colligitur, totidem numeros ad exponentem $d$ pertinere, quot numerorum $1,2,3\ldots d$ ad $d$ sint primi. At memorem esse oportet, hanc conclusionem innixam esse suppositioni, unum numerum $a$ iam haberi ad exponentem $d$ pertinentem. Quamobrem dubium remanet, fierine possit ut ad aliquem exponentem nullus omnino numerus pertineat; conclusioque eo limitatur, ut $\psi d$ sit vel $=0$ vel $=\varphi d$.

54.

II. Iam sint omnes divisores numeri $p-1$ hi: $d,d',d''$ etc. eritque, quia omnes numeri $1,2,3\ldots p-1$ inter hos sunt distributi, $\textstyle \psi d+\psi d'+\psi d''+\mathrm {etc.} =p-1$ At in art. 40 demonstravimus esse $\textstyle \varphi d+\varphi d'+\varphi d''+\mathrm {etc.} =p-1$ atque ex art. praec. sequitur, $\psi d$ ipsi $\varphi d$ aut aequalem aut ipso minorem esse, maiorem esse non posse, similiterque de $\psi d'$ et $\varphi d'$, etc. Si itaque aliquis terminus ex his $\psi d,\psi d',\psi d''$ etc. termino respondente ex his $\varphi d,\varphi d',\varphi d''$, esset minor (sive etiam plures), illorum summa summae herum aequalis esse non posset. Unde tandem concludimus, $\psi d$ ipsi $\varphi d$ semper esse aequalem, adeoque a magnitudine ipsius $p-1$ non pendere.

55.

Maximam autem attentionem meretur casus particularis propositionis prae-