Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/49

39

residua terminorum progressionis geometricae

46.

Quando progressio ultra terminum, qui unitati est congruus, continuatur, eadem, quae ab initio habebantur, residua prodeunt iterum. Scilicet si $a^{t}\equiv 1$, erit $a^{t+1}\equiv a$, $a^{t+2}\equiv aa$ etc., donec ad terminum $a^{2t}\!$ perveniatur, cuius residuum minimum iterum erit $\equiv 1$, atque residuorum periodum denuo inchoat. Habetur itaque periodus $t$ residua comprehendens, quae simulac finita est ab initio semper repetitur; neque alia residua quam quae in hac periodo continentur, in tota progressione occurrere possunt. Generaliter erit $a^{mt}\equiv 1$, et $a^{mt+n}\equiv a^{n}\!$, id quod per designationem nostram ita exhibetur:

Si $\textstyle r\equiv \rho {\pmod {t}}$, erit $\textstyle a^{r}\equiv a^{\rho }{\pmod {t}}$.

47.

Petitur ex hoc theoremate compendium potestatum quantumvis magno exponente affectarum residua expedite inveniendi, simulac potestas unitati congrua innotescat. Si ex. gr. residuum e divisione potestatis $3^{1000}\!$ per $13$ oriundum quaeritur, erit propter $\textstyle 3^{3}\equiv 1{\pmod {13}}$, $t\equiv 3$; quare quum sit $\textstyle 1000\equiv 1{\pmod {3}}$, erit $\textstyle 3^{1000}\equiv 3{\pmod {13}}$.

48.

Quando $a^{t}\!$ est infima potestas unitati congrua (praeter $a^{0}=1$, ad quem casum hic non respicimus), illi $t$ termini, residuorum periodum constituentes omnes erunt diversi, uti ex demonstratione art. 45 nullo negotio perspicitur. Tum autem propositio art. 46 converti potest; scilicet si $\textstyle a^{m}\equiv a^{n}\!{\pmod {p}}$, erit $\textstyle m\equiv n{\pmod {t}}$. Si enim $m$, $n$ secundum modulum $t$ incongrui essent, residua eorum minima $\mu$, $\nu$ diversa forent. At $a^{\mu }\equiv a^{m}\!$, $a^{\nu }\equiv a^{n}\!$, quare $a^{\mu }\equiv a^{\nu }\!$ i. e. non omnes potestates infra $a^{t}\!$ incongruae forent contra hypoth.

Si itaque $\textstyle a^{k}\equiv 1{\pmod {p}}$, erit $\textstyle k\equiv 0{\pmod {t}}$ i. e. $k$ per $t$ divisibilis.

Hactenus de modulis quibuscunque si modo ad $a$ sint primi diximus. Iam modulos qui sunt numeri absolute primi seorsim consideremus atque huic fundamento investigationem generaliorem postea superstruamus.