Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/48

Haec pagina emendata est
SECTIO TERTIA


DE

RESIDUIS POTESTATUM.





Residua terminorum progressionis geometricae ab unitate incipientis constituunt seriem periodicam.
45.

Theorema. In omni progressione geometrica etc. praeter primum , alius adhuc datur terminus , secundum modulum ad primum unitati congruus, cuius eocponens .

Demonstr. Quoniam modulus ad , adeoque ad quamvis ipsius potestatem est primus, nullus progressionis terminus erit , sed quivis alicui ex his numeris congruus. Quorum multitudo quum sit , manifestum est, si plures quam progressionis termini considerentur, omnes residua minima diversa habere non posse. Quocirca inter terminos bini ad minimum congrui invenientur. Sit itaque et , fietque dividendo per (art. 22), ubi , et . Q. E. D.

Ex. In progressione etc. terminus primus, qui secundum modulum unitati est congruus, invenitur . At secundum modulum in eadem progressione fit . Similiter numeri potestas sexta, , unitati congrua secundum modulum , quinta vero, , secundum . In aliis igitur casibus potestas exponentis minoris quam unitati congrua evadit, in aliis contra usque ad potestatem tum ascendere necesse est.