Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/53

Haec pagina emendata est

positivi ab $1$ usque ad $p-1$ considerentur; manifestum enim est, numeros congruos ad eandem potestatem elevari debere, quo unitati fiant congruae, adeoque numerum quemcunque ad eundem exponentem esse referendum, ad quem residuum suum minimum positivum. Quocirca in id nobis erit incumbendum, ut quomodo hoc respectu numeri $1,2,3\ldots p-1$ inter singulos factores numeri $p-1$ distribuendi sint, eruamus. Brevitatis gratia, si $d$ est unus e divisoribus numeri $p-1$ (ad quos etiam $1$ et $p-1$ referendi), per $\psi d$ designabimus multitudinem numerorum positivorum ipso $p$ minorum, quorum potestas $d^{\mathrm {ta} }\!$ est infima unitati congrua.

53.

Quo facilius haec disquisitio intelligi possit, exemplum apponimus. Pro $p=19$ distribuentur numeri $1,2,3\ldots 18$ inter divisores numeri $18$ hoc modo:

{\begin{array}{r|rrrrrr}1&1\,\\2&18\,\\3&7,&11\,\\6&8,&12\,\\9&4,&5,&6,&9,&16,&17\\18&2,&3,&10,&13,&14,&15\\\end{array}}

In hoc igitur casu fit $\psi 1=1$ , $\psi 2=1$ , $\psi 3=2$ , $\psi 6=2$ , $\psi 9=6$ , $\psi 18=6$ . Ubi exigua attentio docet, totidem ad quemvis exponentem pertinere, quot dentur numeri hoc non maiores ad ipsumque primi, sive esse in hoc certe casu, retento signo art. 39 $\psi d=\varphi d$ . Hanc autem observationem generaliter veram esse ita demonstramus.

I. Si numerus aliquis habetur, $a$ , ad exponentem $d$ pertinens (i. e. cuius potestas $d^{\mathrm {ta} }\!$ unitati congrua, omnes inferiores incongruae), omnes huius potestates $aa,a^{3},a^{4}\ldots a^{d}\!$ sive ipsarum residua minima proprietatem priorem etiam possidebunt (ut potestas ipsarum $d^{\mathrm {ta} }\!$ unitati sit congrua) et quum hoc ita etiam exprimi possit, residua minima numerorum $a,aa,a^{3}\ldots a^{d}\!$ (quae omnia sunt diversa) esse radices congruentiae $x^{d}\equiv 1$ , haec autem plures quam $d$ radices diversas habere nequeat, manifestum est, praeter numerorum $a,aa,a^{3}\ldots a^{d}\!$ residua minima alios numeros inter $1$ et $p-1$ incl. non dari, quorum potestas ex-