Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/41

31

theoremata varia

etc. etc. sint congrui. Sed ex art. 32 sequitur, omnes numeros, secundum singulos modulos $M,N,P$ etc. residua determinata dantes, congruos secundum eorum productum $A$ fore, adeoque infra $A$ unicum tantum dari, secundum singulos $M,N,P$ etc, residuis datis congruum. Quare numerus quaesitus aequalis erit numero combinationum singulorum numerorum $m,m',m''\!$ cum singulis $n,n',n''\!$ atque $p,p',p''\!$ etc. etc. Hunc vero esse $=\varphi M.\varphi N.\varphi P$ etc., ex theoria combinationum constat. Q. E. D.

IV. Iam quomodo hoc ad casum de quo agimus applicandum sit, facile intelligitur. Resolvatur $A$ in factores suos primos sive reducatur ad formam $a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }$ etc. designantibus $a,b,c$ etc. numeros primos diversos. Tum erit

$\varphi A=\varphi a^{\alpha }.\varphi b^{\beta }.\varphi c^{\gamma }\$ etc. $=a^{\alpha }(a-1)b^{\beta }(b-1)c^{\gamma }(c-1)\$ etc.
seu concinnius	$\varphi A=A{\frac {a-1}{a}}.{\frac {b-1}{b}}.{\frac {c-1}{c}}\$ etc.

Exempl. Sit $A=60=2^{2}.3.5$, adeoque $\textstyle \varphi A={\frac {1}{2}}.{\frac {2}{3}}.{\frac {4}{5}}.60=16$. Numeri hi ad 60 primi sunt 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59.

Solutio prima huius problematis exstat in commentatione ill. Euleri, theoremata arithmetica nova methodo demonstrata, Comm. nov. Ac. Petrop. VIII p. 74. Demonstratio postea repetita est in alia diss. Speculationes circa quasdam insignes proprietates numerorum, Acta Petrop. VIII p. 17.

39.

Si characteris $\varphi$ signiticatio ita determinatur, ut $\varphi A$ exprimat multitudinem numerorum ad $A$ primorum ipsoque $A$ non maiorum, perspicuum est, $\varphi 1$ fore non amplius $=0$, sed $=1$ , in omnibus reliquis casibus nihil hinc immutari. Hancce definitionem adoptantes sequens habebimus theorema.

Si $a,a',a''\!$ etc. sunt omnes divisores ipsius $A$ (unitate et ipso $A$ non exclusis), erit

$\varphi a+\varphi a'+\varphi a''\$ + etc. $=A$

Ex. sit $A=30$, tum erit $\varphi 1+\varphi 2+\varphi 3+\varphi 5+$ $\varphi 6+$ $\varphi 10$ $+\varphi 15+\varphi 30=$ $1+1+2+4+$ $2+4+8+8$ $=30$.

Demonstratio. Multiplicentur omnes numeri ad $a$ primi ipsoque $a$ non maiores per $\textstyle {\frac {A}{a}}$, similiter omnes ad $a'$ primi per $\textstyle {\frac {A}{a'}}$ etc., habebunturque