Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/31

Haec pagina emendata est

21

solutio congruentiarum.

quod tandem evenire debere constat. Erit itaque

	$\quad \quad a=[n,\mu ,\dots \dots \gamma ,\beta ,\alpha ]$ ,	$\quad b=[n,\mu ,\dots \dots \gamma ,\beta ]$
Tum fiat	$\quad \quad x=[\mu ,\dots \dots \gamma ,\beta ]$ ,	$\quad y=[\mu ,\dots \dots \gamma ,\beta ,\alpha ]$

eritque $ax=by+1$ , quando numerorum $\alpha ,\beta ,\gamma \dots \mu ,n$ multitudo est par, aut $ax=by-1$ , quando est impar. Q. E. F.

28.

Resolutionem generalem huiusmodi aequationum indeterminatarum ill. Euler primus docuit, Comment. Petrop. T. VII. p. 46. Methodus qua usus est consistit in substitutione aliarum incognitarum loco ipsarum $x,y$ , atque hoc quidem tempore satis est nota. Ill. La Grange paullo aliter rem aggressus est: scilicet ex theoria fractionum continuarum constat, si fractio $\textstyle {\frac {b}{a}}$ in fractionem continuam ${\begin{alignedat}{2}&1\\&{\overline {\alpha {\color {white}1}\!\!+}}&{\overline {\,1\ }}\ \ \ \\&&{\overline {\beta \ +}}&{\overline {\ 1{\color {white}\beta }\!\!}}\ \ \ \\&&&{\overline {\ \gamma \ {\color {white}t}\!\!+}}&{\overline {\mathrm {\ etc.} }}\\&&&&\ \ \ +&1\\&&&&&{\overline {\mu +{\tfrac {1}{n}}}}\end{alignedat}}$ convertatur, haecque deleta ultima sui parte ${\tfrac {1}{n}}$ in fractionem communem ${\tfrac {x}{y}}$ restituatur, fore $ax=by\pm 1$ , siquidem fuerit $a$ ad $b$ primus. Ceterum ex utraque methodo idem algorithmus derivatur. Investigationes ill. La Grange exstant Hist. de l'Ac. de Berlin Année 1767 p. 173, et cum aliis in Supplementis versioni gallicae Algebrae Eulerianae adiectis.

29.

Congruentia $ax+t\equiv u$ , cuius modulus ad $a$ non primus, facile ad casum praecedentem reducitur. Sit modulus $m$ , maximusque numerorum $a,m$ divisor communis $\delta$ . Primo patet quemvis valorem ipsius $x$ congruentiae secundum modulum $m$ satisfacientem eidem etiam secundum modulum $\delta$ satisfacere (art. 5). At semper ${\textstyle ax\equiv 0{\pmod {\delta }}}$ , quoniam $\delta$ ipsum $a$ metitur. Quare, nisi ${\textstyle t\equiv u{\pmod {\delta }}}$ i. e. $t-u$ per $\delta$ divisibilis, congruentia proposita non est resolubilis.