Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/20

10

de numerorum congruentia

Numerorum congruentiam hoc signo, $\equiv$, in posterum denotabimus, modulum ubi opus erit in clausulis adiungentes, $\textstyle -16\equiv 9{\pmod {5}}$, $\textstyle -7\equiv 15{\pmod {11}}$^[1].

3.

Theorema. Propositis $m$ numeris integris successivis $a,\ a+1,\ a+2\ \ldots a+m-1$alioque $A,$ illorum aliquis huic secundum modulum $m$ congruus erit, et quidem unicus tantum.

Si enim $\textstyle {\frac {a-A}{m}}$ integer, erit $a\equiv A$, sin fractus, sit integer proxime maior, (aut quando est negativus, proxime minor, si ad signum non respiciatur) $=k$, cadetque $A+km$ inter $a$ et $a+m$, quare erit numerus quaesitus. Et manifestum est omnes quotientes $\textstyle {\frac {a-A}{m}}$, $\textstyle {\frac {a+1-A}{m}}$, $\textstyle {\frac {a+2-A}{m}}$ etc. inter $k-1$ et $k+1$ sitos esse; quare plures quam unus integri esse nequeunt.

Residua minima.

4.

Quisque igitur numerus residuum habebit tum in hac serie, $0,1,2,\ldots m-1$, tum in hac, $0,-1,-2,\ldots -(m-1)$, quae in residua minima dicemus, patetque, nisi 0 fuerit residuum, bina semper dari, positivum alterum negativum. Quae si magnitudine sunt inaequalia, alterum erit $\textstyle <{\frac {m}{2}}$, sin secus utrumque $\textstyle ={\frac {m}{2}}$, signi repectu non habito. Unde patet, quemvis numerum residuum habere moduli semissem non superans quod absolute minimum vocabitur.

E. g. $-13$ secundum modulum $5$ habet residuum minimum positivum $2$, quod simul est absolute minimum, $-3$ vero residuum minimum negativum; $+5$ secundum modulum $7$ sui ipsius est residuum minimum positivum, $-2$ negativum, simulque absolute minimum.

Propositiones elementares de congruentiis.

5.

His notionibus stabilitis eas numerorum congruorum proprietates quae prima fronte se offerunt colligamus.

1. Hoc signum propter magnam analogiam quae inter aequalitatem atque congruentiam invenitur adoptavimus. Ob eandem caussam ill. Le Gendre in comment. infra saepius laudanda ipsum aequalitatis signum pro congruentia retinuit, quod nos ne ambiguitas oriatur imitari dubitavimus.