Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/57

Haec pagina emendata est

47

radices primitivae, indices.

residua minima omnia erunt diversa; unde facile deducitur, inter haec omnes numeros $1,2,3,\ldots p-1$ , qui totidem sunt multitudine quot illa residua minima, reperiri debere: i. e. quemvis numerum per $p$ non divisibilem potestati alicui ipsius $a$ congruum esse. Insignis haec proprietas permagnae est utilitatis, operationesque arithmeticas, ad congruentias pertinentes, haud parum sublevare potest, simili fere modo, ut logarithmorum introductio operationes arithmeticae vulgaris. Radicem aliquam primitivam, $a$ , ad lubitum pro basi adoptabimus, ad quam omnes numeros per $p$ non divisibiles referemus, et si fuerit $\textstyle a^{e}\equiv b{\pmod {p}}$ , $e$ ipsius $b$ indicem vocabimus. Ex. gr. si pro modulo $19$ , radix primitiva $2$ pro basi assumatur, respondebunt

numeris	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	9.	10.	11.	12.	13.	14.	15.	16.	17.	18.
indices	0.	1.	13.	2.	16.	14.	6.	3.	8.	17.	12.	15.	5.	7.	11.	4.	10.	9.

Ceterum patet, manente basi, cuique numero plures indices convenire, sed hos omnes secundum modulum $p-1$ fore congruos; quamobrem quoties de indicibus sermo erit, qui secundum modulum $p-1$ sunt congrui, pro aequivalentibus habebuntur, simili modo uti numeri ipsi, quando secundum modulum $p$ sunt congrui, tamquam aequivalentes spectantur.

Algorithmus indicum.

58.

Theoremata ad indices pertinentia prorsus analoga sunt iis, quae ad logarithmos spectant.

Index producti e quotcunque factoribus conflati congruus est summae indicum singulorum factorum secundum modulum $p-1$ .

Index potestatis numeri alicuius congruus est producto ex indice numeri dati in exponentem potestatis, secundum mod. $p-1$ .

Demonstrationes propter facilitatem omittimus.

Hinc perspicitur, si tabulam construere velimus, ex qua omnium numerorum indices pro modulis diversis desumi possint, ex hac tum omnes numeros modulo maiores, tum omnes compositos omitti posse. Specimen huius modi tabulae ad calcem operis huius adiectum est, Tab. I, ubi in prima columna verticali positi sunt numeri primi primorumque potestates a 3 usque ad 97, qui tamquam moduli sunt spectandi, iuxta hos singulos numeri pro basi assumti; tum sequuntur indices numerorum primorum successivorum, quorum quini semper per parvulum in-