Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/73

Haec pagina emendata est
63
theoremata varia de periodis et radicibus primitivis.


81.

Summa omnium radicum primitivarum est aut (quando per quadratum aliquod est divisibilis), aut , (quando est productum e numeris primis inaequalibus; quorum multitudo si est par signum positivum, si vero impar, negativum sumendum).

Ex. 1° pro , habentur radices primitivae , quarum summa .

2° pro , radices primitivae sunt quarum summa .

3° pro , radices primitivae sunt , quarum summa .

Demonstr. Supra demonstravimus (art. 55, II), si fuerit etc. (designantibus ,, etc. numeros primos inaequales) atque , , etc. numeri quicunque ad exponentes , , etc. respective pertinentes, omnia producta etc. exhibere radices primitivas. Facile vero etiam demonstrari potest, quamvis radicem primitivam per huiusmodi productum exhiberi posse et quidem unico tantum modo[1].

Unde sequitur haec producta loco ipsarum radicum primitivarum accipi posse. At quoniam in his productis omnes valores ipsius cum omnibus ipsius etc. combinari oportet, omnium horum productorum summa aequalis est producto ex summa omnium valorum ipsius , in summam omnium valorum ipsius , in summam omnium valorum ipsius etc, uti ex doctrina combinationum notum est. Designentur omnes valores ipsorum ; etc., per , , etc.; , , etc. etc., eritque summa omnium radicum primitivarum Iam dico, si exponens fuerit , summam etc. fore , si vero fuerit , summam hanc fore , similiterque de

reliquis , etc. Simulac haec erunt demonstrata, theorematis nostri veritas mani-

  1. Determinentur scilicet numeri etc. ita, ut sit et  ; et etc. (vid. art. 32), unde fiet , (art. 19). Iam si radix primitiva quaecunque, , per productum etc. exhiberi debet, accipiatur , ; etc., atque pertinebunt ad exponentem , ad exponentem etc.; productum ex omnibus , , etc. erit ; denique facile perspicitur , , etc. alio modo determinari non posse.