Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/73

Haec pagina emendata est

63

theoremata varia de periodis et radicibus primitivis.

81.

Summa omnium radicum primitivarum est aut $\equiv 0$ (quando $p-1$ per quadratum aliquod est divisibilis), aut $\textstyle \equiv \pm 1{\pmod {p}}$ , (quando $p-1$ est productum e numeris primis inaequalibus; quorum multitudo si est par signum positivum, si vero impar, negativum sumendum).

Ex. 1° pro $p=13$ , habentur radices primitivae $2,6,7,11$ , quarum summa $\textstyle 26\equiv 0{\pmod {13}}$ .

2° pro $p=11$ , radices primitivae sunt $2,6,7,8$ quarum summa $23\equiv \textstyle +1{\pmod {11}}$ .

3° pro $p=31$ , radices primitivae sunt $3,11,12,13,17,21,22,24$ , quarum summa $\textstyle 123\equiv -1{\pmod {31}}$ .

Demonstr. Supra demonstravimus (art. 55, II), si $p-1$ fuerit $=a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }$ etc. (designantibus $a$ , $b$ , $c$ etc. numeros primos inaequales) atque $A$ , $B$ , $C$ etc. numeri quicunque ad exponentes $a^{\alpha }$ , $b^{\beta }$ , $c^{\gamma }$ etc. respective pertinentes, omnia producta $ABC$ etc. exhibere radices primitivas. Facile vero etiam demonstrari potest, quamvis radicem primitivam per huiusmodi productum exhiberi posse et quidem unico tantum modo^[1].

Unde sequitur haec producta loco ipsarum radicum primitivarum accipi posse. At quoniam in his productis omnes valores ipsius $A$ cum omnibus ipsius $B$ etc. combinari oportet, omnium horum productorum summa aequalis est producto ex summa omnium valorum ipsius $A$ , in summam omnium valorum ipsius $B$ , in summam omnium valorum ipsius $C$ etc, uti ex doctrina combinationum notum est. Designentur omnes valores ipsorum $A$ ; $B$ etc., per $A$ , $A'$ , $A''$ etc.; $B$ , $B'$ , $B''$ etc. etc., eritque summa omnium radicum primitivarum $\equiv (A+A'+\mathrm {etc.} )(B+B'+\mathrm {etc.} )\mathrm {etc.}$ Iam dico, si exponens $\alpha$ fuerit $=1$ , summam $A+A'+A''+$ etc. fore $\textstyle \equiv -1{\pmod {p}}$ , si vero $\alpha$ fuerit $>1$ , summam hanc fore $\equiv 0$ , similiterque de

reliquis $\beta$ , $\gamma$ etc. Simulac haec erunt demonstrata, theorematis nostri veritas mani-

↑ Determinentur scilicet numeri ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}$ etc. ita, ut sit $\textstyle {\mathfrak {a}}\equiv 1{\pmod {a^{\alpha }}}$ et $\textstyle \equiv 0{\pmod {b^{\beta }c^{\gamma }\mathrm {etc.} }}$ ; $\textstyle {\mathfrak {b}}\equiv 1{\pmod {b^{\beta }}}$ et $\textstyle \equiv 0{\pmod {a^{\alpha }c^{\gamma }\mathrm {etc.} }}$ etc. (vid. art. 32), unde fiet $\textstyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}}+\mathrm {etc.} \equiv 1{\pmod {p-1}}$ , (art. 19). Iam si radix primitiva quaecunque, $r$ , per productum $ABC$ etc. exhiberi debet, accipiatur $A\equiv r^{\mathfrak {a}}\!$ , $B\equiv r^{\mathfrak {b}}\!$ ; $C=r^{\mathfrak {c}}\!$ etc., atque pertinebunt $A$ ad exponentem $a^{\alpha }\!$ , $B$ ad exponentem $b^{\beta }\!$ etc.; productum ex omnibus $A$ , $B$ , $C$ etc. erit $\textstyle \equiv r{\pmod {p}}$ ; denique facile perspicitur $A$ , $B$ , $C$ etc. alio modo determinari non posse.

[1] Determinentur scilicet numeri ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}$ etc. ita, ut sit $\textstyle {\mathfrak {a}}\equiv 1{\pmod {a^{\alpha }}}$ et $\textstyle \equiv 0{\pmod {b^{\beta }c^{\gamma }\mathrm {etc.} }}$ ; $\textstyle {\mathfrak {b}}\equiv 1{\pmod {b^{\beta }}}$ et $\textstyle \equiv 0{\pmod {a^{\alpha }c^{\gamma }\mathrm {etc.} }}$ etc. (vid. art. 32), unde fiet $\textstyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}}+\mathrm {etc.} \equiv 1{\pmod {p-1}}$ , (art. 19). Iam si radix primitiva quaecunque, $r$ , per productum $ABC$ etc. exhiberi debet, accipiatur $A\equiv r^{\mathfrak {a}}\!$ , $B\equiv r^{\mathfrak {b}}\!$ ; $C=r^{\mathfrak {c}}\!$ etc., atque pertinebunt $A$ ad exponentem $a^{\alpha }\!$ , $B$ ad exponentem $b^{\beta }\!$ etc.; productum ex omnibus $A$ , $B$ , $C$ etc. erit $\textstyle \equiv r{\pmod {p}}$ ; denique facile perspicitur $A$ , $B$ , $C$ etc. alio modo determinari non posse.

[1]