Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/27

Haec pagina emendata est
17
theoremata de numerus primi.

Demonstrationes propter facilitatem omittimus. Ceterum quomodo haec problemata solvenda sint, quando numerorum etc. in factores resolutio non detur, ex elementis notum.


19.

Si numeri etc. ad alium sunt primi, etiam productum ex illis etc. ad primum est.

Quia enim nulli numerorum etc. factor primus cum est communis productumque etc. alios factores primos habere nequit, quam qui sunt factores alicuius numerorum etc., productum etc. etiam cum factorem primum communem non habebit. Quare ex art. praec. ad etc. primus.

Si numeri etc. inter se sunt primi, aliumque singuli metiuntur: etiam productum ex illis numerum metietur.

Hoc aeque facile ex artt. 17, 18 derivatur. Sit enim quicunque producti etc. divisor primus , quem contineat vicibus, manifestumque est, aliquem numerorum etc. eundem hunc divisorem vicibus continere debere. Quare etiam , quem hic numerus metitur, vicibus divisorem continet. Similiter de reliquis producti etc. divisoribus.

Hinc si duo numeri secundum plures modulos inter se primos etc. sunt congrui, etiam secundum productum ex his congrui erunt. Quum enim per singulos etc. sit divisibilis, etiam per eorum productum dividi poterit.

Denique si ad primus et per divisibilis, erit etiam per divisibilis. Namque quoniam tam per quam per divisibilis, etiam per dividi poterit, i. e. erit integer.


20.

Quando etc., designantibus etc. numeros primos inaequales, est potestas aliqua, puta : omnes exponentes etc. per erunt divisibiles.

Numerus enim alios factores primos quam etc. non involvit. Contineat factorem vicibus, continebitque sive hunc factorem vicibus; quare , et integer. Similiter etc. integros esse demonstratur.



I. 3