Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/27

17

theoremata de numerus primi.

Demonstrationes propter facilitatem omittimus. Ceterum quomodo haec problemata solvenda sint, quando numerorum $A,B,C$ etc. in factores resolutio non detur, ex elementis notum.

19.

Si numeri $a,b,c$ etc. ad alium $k$ sunt primi, etiam productum ex illis $abc$ etc. ad $k$ primum est.

Quia enim nulli numerorum $a,b,c$ etc. factor primus cum $k$ est communis productumque $abc$ etc. alios factores primos habere nequit, quam qui sunt factores alicuius numerorum $a,b,c$ etc., productum $abc$ etc. etiam cum $k$ factorem primum communem non habebit. Quare ex art. praec. $k$ ad $abc$ etc. primus.

Si numeri $a,b,c$ etc. inter se sunt primi, aliumque $k$ singuli metiuntur: etiam productum ex illis numerum $k$ metietur.

Hoc aeque facile ex artt. 17, 18 derivatur. Sit enim quicunque producti $abc$ etc. divisor primus $p$, quem contineat $\pi$ vicibus, manifestumque est, aliquem numerorum $a,b,c$ etc. eundem hunc divisorem $\pi$ vicibus continere debere. Quare etiam $k$, quem hic numerus metitur, $\pi$ vicibus divisorem $p$ continet. Similiter de reliquis producti $abc$ etc. divisoribus.

Hinc si duo numeri $m,n$ secundum plures modulos inter se primos $a,b,c$ etc. sunt congrui, etiam secundum productum ex his congrui erunt. Quum enim $m-n$ per singulos $a,b,c$ etc. sit divisibilis, etiam per eorum productum dividi poterit.

Denique si $a$ ad $b$ primus et $ak$ per $b$ divisibilis, erit etiam $k$ per $b$ divisibilis. Namque quoniam $ak$ tam per $a$ quam per $b$ divisibilis, etiam per $ab$ dividi poterit, i. e. $\textstyle {\tfrac {ak}{ab}}={\tfrac {k}{b}}$ erit integer.

20.

Quando $A=a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\!$ etc., designantibus $a,b,c$ etc. numeros primos inaequales, est potestas aliqua, puta $=k^{n}$: omnes exponentes $\alpha ,\beta ,\gamma$ etc. per $n$ erunt divisibiles.

Numerus enim $k$ alios factores primos quam $a,b,c$ etc. non involvit. Contineat factorem $a,\alpha '\!$ vicibus, continebitque $k^{n}\!$ sive $A$ hunc factorem $n\alpha '\!$ vicibus; quare $n\alpha '=\alpha$, et $\textstyle {\tfrac {\alpha }{n}}$ integer. Similiter $\textstyle {\tfrac {\beta }{n}}$ etc. integros esse demonstratur.

I.

3