Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/58

Haec pagina emendata est

48

de residuis potestatum.

tervallum sunt disiuncti, eodemque ordine supra dispositi sunt numeri primi; ita ut quis index numero primo dato secundum modulum datum respondeat, facile tutoque inveniri possit.

Ita ex. gr. si $p=67$ index numeri $60$ , assumto $12$ pro basi erit $\textstyle \equiv 2\operatorname {Ind.} 2+\operatorname {Ind.} 3+\operatorname {Ind.} 5{\pmod {66}}\equiv 58+9+39\equiv 40$

59.

Index valoris cuiuscunque expressionis $\textstyle {\frac {a}{b}}{\pmod {p}}$ , (art. 31) congruus est secundum modulum $p-1$ differentiae indicum numeratoris $a$ et denominatoris $b$ , siquidem numeri $a$ , $b$ per $p$ non sunt divisibiles.

Sit enim valor quicunque $c$ : eritque $\textstyle bc\equiv a{\pmod {p}}$ ; hinc

	$\operatorname {Ind.} b+\operatorname {Ind.} c\equiv \operatorname {Ind.} a{\pmod {p-1}}$
adeoque	$\ \ \ \operatorname {Ind.} c\equiv \operatorname {Ind.} a-\operatorname {Ind.} b$

Si itaque tabula habetur, ex qua index cuique numero respondens pro quovis modulo primo, aliaque ex qua numerus ad indicem datum pertinens derivari possit, omnes congruentiae primi gradus facillimo negotio solvi poterunt, quoniam omnes reduci possunt ad tales, quarum modulus est numerus primus (art. 30). E. g. proposita congruentia $29x+7\equiv 0{\pmod {47}}$ erit $\textstyle x\equiv {\frac {-7}{29}}{\pmod {47}}$ Hinc $\operatorname {Ind.} x$ $\equiv$ $\operatorname {Ind.} -7-\operatorname {Ind.} 29$ $\equiv$ $\operatorname {Ind.} 40-\operatorname {Ind.} 29$ $\equiv$ $15-43$ $\equiv$ $\textstyle 18{\pmod {46}}$

At numerus cuius index $18$ invenitur $3$ . Quare $\textstyle x\equiv 3{\pmod {47}}$ . — Tabulam secundam quidem non adiecimus: at huius vice alia defungi poterit, uti Sect. VI ostendemus.

De radicibus congruentiae $x^{n}\equiv A$ .

60.

Simili modo ut art. 31 radices congruentiarum primi gradus designavimus, in sequentibus etiam congruentiarum purarum altiorum graduum radices per signum exhibebimus. Uti scilicet $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}$ nihil aliud significat quam radicem aequationis $x^{n}\equiv A$ , ita apposito modulo per $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}{\pmod {p}}$ denotabitur radix quaecunque congruentiae $\textstyle x^{n}\equiv A{\pmod {p}}$ . Hanc expressionem $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}{\pmod {p}}$ tot valores habere dicemus, quot habet secundum $p$ incongruos, omnes enim qui secundum $p$