Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/40

30

de congruentiis primi gradus.

His disquisitionibus, per quas sectionis propositum iam absolutum est, adhuc quasdam propositiones similibus principiis innixas adiungimus, quibus in sequentibus frequenter opus erit.

Theoremata varia.

38.

Problema. Invenire, quot numeri positivi dentur numero positivo dato $A$ minores simulque ad ipsum primi.

Designemus brevitatis gratia multitudinem numerorum positivorum ad numerum datum primorum ipsoque minorum per praefixum characterem $\varphi$. Quaeritur itaque $\varphi A$.

I. Quando $A$ est primus, manifestum est, omnes numeros ab $1$ usque ad $A-1$ ad $A$ primos esse; quare in hoc casu erit $\varphi A=A-1$

II. Quando $A$ est numeri primi potestas puta $=p^{m}$, omnes numeri per $p$ divisibiles ad $A$ non erunt primi, reliqui erunt. Quam obrem de $p^{m}-1$ numeris hi sunt reiiciendi: $p$, $2p$, $3p$ $\dots (p^{m-1}\!\!-1)p$; remanent igitur $\textstyle p^{m}\!-1-(p^{m-1}\!\!-1)$ sive $p^{m-1}(p-1)$. Hinc $\varphi p^{m}=p^{m-1}(p-1)$

III. Reliqui casus facile ad hos reducuntur ope sequentis propositionis: Si $A$ in factores $M$, $N$, $P$ etc. inter se primos est resolutus, erit $\varphi A=\varphi M.\varphi N.\varphi P\quad \mathrm {etc.}$ quae ita demonstratur. Sint numeri ad $M$ primi ipsoque $M$ minores $m$, $m'$, $m''$ etc., quorum itaque multitudo = $\varphi M$. Similiter sint numeri ad $N$, $P$ etc. respective primi ipsisque minores $n,n',n''$ etc.; $p,p',p''$ etc. etc., quorum multitudo $\varphi N,\varphi P$ etc. Iam constat, omnes numeros ad productum $A$ primos etiam ad factores singulos $M$, $N$, $P$ etc. primos fore et vice versa (art. 19); porro omnes numeros, qui horum $m$, $m'$, $m''$ etc. alicui sint congrui, secundum modulum $M$ ad $M$ primos fore et vice versa, similiterque de $N$, $P$ etc. Quaestio itaque huc reducta est: determinare, quot dentur numeri infra $A$, qui secundum modulum $M$, alicui numerorum $m$, $m'$, $m''$ etc. secundum $N$, alicui ex his $n$, $n'$, $n''$