Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/81

71

moduli e pluribus primis compositi.

(namque pro modulo $8$ nulla tabula necessaria erit) semper numerum $5$ pro basi accepimus. Ex. gr. numero $19$, qui est formae $8n+3$ adeoque negatim sumendus, respondet pro modulo $64$ index $7$, id quod significat esse $\textstyle 5^{7}\equiv -19{\pmod {64}}$. Numeris autem formarum $8n+1$, $8n+5$ negative, atque nunieris formarum $8n+3$, $8n+7$ positive acceptis, indices quasi imaginarii tribuendi forent. Quos introducendo calculus indicum ad algorithmum perquam simplicem reduci potest. Sed quoniam, si haec ad omnem rigorem exponere vellemus, nimis longe evagari oporteret, hoc negotium ad aliam occasionem nobis reservamus, quando forsan fusius quantitatum imaginariarum theoriam, quae nostro quidem iudicio a nemine hactenus ad notiones claras est reducta, pertractare suscipiemus. Periti hunc algorithmum facile ipsi eruent: qui minus sunt exercitati, perinde tamen tabula hac uti poterunt, ut ii qui recentiorum commenta de logarithmis imaginariis ignorant, logarithmis utuntur, si quidem principia supra stabilita probe tenuerint.

Moduli e pluribus primis compositi.

92.

Secundum modulum e pluribus primis compositum tantum non omnia quae ad residua potestatum pertinent, ex theoria congruentiarum generali deduci possunt; quia vero infra congruentias quascunque secundum modulum e pluribus primis compositum ad congruentias, quarum modulus est primus aut primi potestas, reducere fusius docebimus, non est quod huic rei multum hic immoremur. Observamus tantum, bellissimam proprietatem, quae pro reliquis modulis locum habeat, quod scilicet semper exstant numeri quorum periodus omnes numeros ad modulum primos complectatur, hic deficere, excepto unico casu, quando scilicet modulus est duplum numeri primi, aut potestatis numeri primi. Si enim modulus $m$ redigitur ad formam $A^{a}B^{b}C^{c}$ etc., designantibus $A$, $B$, $C$ etc. numeros primos diverses, praeterea $A^{a-1}(A-1)$ designatur per $\alpha$, $B^{b-1}(B-1)$ per $\beta$ etc. denique $z$ est numerus ad $m$ primus; erit $\textstyle z^{\alpha }\equiv 1{\pmod {A^{a}}}$, $\textstyle z^{\beta }\equiv 1{\pmod {B^{b}}}$ etc. Quodsi igitur $\mu$ est minimus numerorum $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ etc. dividuus communis, erit $z^{\mu }\equiv 1$ secundum omnes modulos $A^{a}\!$, $B^{b}\!$ etc. adeoque etiam secundum $m$, cui illorum productum est aequale. At excepto casu, ubi $m$ est duplum numeri primi aut potestatis numeri primi, numerorum $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ etc. dividuus communis minimus, ipsorum producto est minor (quoniam numeri $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ etc. inter se primi esse nequeunt sed certe divisorem $2$ communem habent). Nullius itaque numeri