Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/43

33

theoremata varia.

Simili modo procedi potest, quotcunque alii numeri accedant.

Si itaque numeri $A,B,C,D$ etc. divisorem communem non habent, patet fieri posse $$aA+bB+cC+\mathrm {etc.} =1$$

41.

Si $p$ est numerus primus atque habentur $p$ res, inter quas quotcunque aequales esse possunt, modo non omnes sint aequales: numerus permutationum harum rerum per $p$ erit divisibilis.

Ex. Quinque res $A,A,A,B,B$ decem modis diversis possunt transponi.

Demonstratio huius theorematis facile quidem ex nota permutationum theoria peti potest. Si enim inter has res sunt primo $a$ aequales nempe $=A$, tum $b$ aequales nempe $=B$, tum $c$ aequales nempe $=C$ etc. (ubi numeri $a,b,c$ etc. etiam unitatem designare possunt), ita ut habeatur $a+b+c+\mathrm {etc.} =p$ numerus permutationum erit $={\frac {1.2.3\ldots p}{1.2.3\ldots a\ .\ 1.2\ldots b\ .\ 1.2\ldots c\mathrm {\ etc.} }}$ Iam per se clarum est, huius fractionis numeratorem per denominatorem divisibilem esse, quoniam numerus permutationum debet esse integer: at numerator per $p$ divisibilis est, denominator vero, qui ex factoribus ipso $p$ minoribus est compositus, per $p$ non divisibilis (art. 15). Quare numerus permutationum per $p$ erit divisibilis (art. 19).

Speramus tamen fore quibus etiam sequens demonstratio haud ingrata sit futura.

Quando in duabus permutationibus rerum, e quibus compositae sunt, ordo in eo tantum discrepat, ut ea res, quae in altera primum locum occupat, aliam sedem in altera teneat, reliquae autem eodem in utraque ordine progrediuntur, eamque quae in altera ultima est, ea quae est prima, in altera excipit; permutationes similes vocemus^[1]). Ita in ex. nostro permutationes $ABAAB$ et $ABABA$ similes erunt, quoniam res quae in priori primum secundum etc. locum occupant, in posteriori loco tertio quarto etc. eodem ordine sunt collocatae.

1. Si permutationes similes in circulum scriptae esse concipiuntur, ita ut ultima res primae fiat contigua, nulla omnino erit discrepantia, quoniam nullus locus primus aut ultimus vocari poterit.

I.

5