Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/51

41

moduli qui sunt numeri primi.

contentis erunt diversi. Assertiones priores eodem modo demonstrantur ut in II, tertia ita. Si esset $\gamma a^{m}\equiv \beta a^{n}\!$, fieret $\gamma \equiv \beta a^{n-m}\!$, aut $\equiv \beta a^{t+n-m}\!$ prout $m<n$ aut $>n$, in utroque casu $\gamma$ alicui ex $(B)$ congrua contra hyp. Habentur igitur $3t$ numeri ex his $1,2,3\ldots p-1$, atque si nulli amplius desunt, fiet $\textstyle t={\tfrac {p-1}{3}}$, adeoque theorema erit demonstratura.

IV. Si vero etiamnum aliqui desunt, eodem modo ad quartum numerorum complexum $(D)$ progrediendum erit etc. Patet vero, quoniam numerorum $1,2,3\ldots p-1$ multitudo est finita, tandem eam exhaustum iri, adeoque multiplum ipsius $t$ fore: quare $t$ erit pars aliquota numeri $p-1$. Q. E. D.

Fermatii Theorema.

50.

Quum igitur ${\tfrac {p-1}{t}}$ sit integer, sequitur evehendo utramque partem congruentiae $a^{t}\equiv 1$ ad potestatem exponentis ${\tfrac {p-1}{t}}$, $a^{p-1}\equiv 1$, sive $a^{p-1}-1$ semper per $p$ divisibilis est, quando $p$ est primus ipsum $a$ non metiens.

Theorema hoc, quod tum propter elegantiam tum propter eximiam utilitatem omni attentione dignum, ab inventore theorema Fermatianum appellari solet. Vid. Fermatii Opera Mathem. Tolosae 1679 fol. p. 163. Demonstrationem inventor non adiecit, quam tamen in potestate sua esse professus est. Ill. Euler primus demonstrationem publici iuris fecit, in diss. cui titulus Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio, Comm. Acad. Petrop. T. VIII^[1]. Innititur ista evolutioni potestatis $(a+1)^{p}\!$, ubi ex coëfficientium forma facillime deducitur, $(a+1)^{p}-a^{p}-1$ semper per $p$ fore divisibilem, adeoque $(a+1)^{p}-(a+1)$ per $p$ divisibilem fore, quando $a^{p}-a$ per $p$ sit divisibilis. Iam quia $1^{p}-1$ semper per $p$ divisibilis est, etiam $2^{p}-2$ semper erit; hinc etiam $3^{p}-3$ etc. generaliterque $a^{p}-a$. Quodsi itaque $p$ ipsum $a$ non metitur, etiam $a^{p-1}-1$ per $p$ divisibilis erit. Haec sufficient ad methodi indolem declarandam. Clar. Lambert similem demonstrationem tradidit in Actis Erudit. 1769

1. In comment. anteriore vir summus ad scopum nondum pervenerat. Comm. Petr. T. VI p. 106. — In controversia famosa inter Maupertuis et König, a principio actionis minimae orta, sed mox ad res heterogeneas egressa, König in manibus se habere dixit autographum Leibnitianum, in quo demonstratio huius theorematis cum Euleriana prorsus conspirans contineatur. Appel au public, p. 106. Licet vero fidem huic testimonio denegare nolimus, certe Leibnitius inventum suum numquam publicavit. Conf. Hist.de l'Ac. de Prusse, A. 1750 p. 530.

I. 6.