Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/64

Haec pagina emendata est
54
de residuis potestatum.

congruentiae satisfaciet, id quod quaerebatur. Totum hoc artificium in eo versatur, ut numerus eruatur, qui ipsius , quem ignoramus, vice fungi possit. Attamen probe meminisse oportet, nos, quando ad non est primus, supposuisse conditionem art. praec. locum habere, quae si deficit omnes conclusiones erroneae erunt; atque si regulas datas temere sequendo pro valor invenitur, cuius potestas ta ipsi non sit congrua, indicio hoc est, conditionem deficere adeoque methodum hanc omnino adhiberi non posse.


68.

Sed in hocce etiam casu saepe prodesse potest, hunc laborem suscepisse; operaeque pretium est, quomodo hic valor falsus ad veros sese habeat, investigare. Supponamus itaque, numeros , rite esse determinatos sed non esse . Tum si modo valores expressionis determinari possint, hos singulos per multiplicando valores ipsius obtinebimus. Si enim est valor aliquis ipsius : erit . Sed expressio eatenus hac simplicior, quod ad exponentem minorem plerumque pertinet quam . Scilicet si numerorum , divisor communis maximus est , ad exponentem pertinebit, id quod ita demonstratur. Substitute pro valore, fit . At per divisibilis (art. praec), vero per (ibid.) sive per . Atqui ad est primus (hyp.), quare etiam per sive per , adeoque etiam per et per erit divisibilis. Hinc . Unde facile deducitur, ad potestatem tam evectum unitati congruum fieri. Quod vero ad exponentem minorem quam pertinere non possit, facile quidem demonstrari potest, sed quoniam ad finem nostrum non requiritur, huic rei non immoramur. Certi igitur esse possumus, semper ad minorem exponentem pertinere quam , unico excepto casu, scilicet quando ipsum metitur, adeoque .

Sed quid iuvat, quod ad minorem exponentem pertinet quam ? Plures numeri dantur, qui possunt esse , quam qui possunt esse , et quando secundum eundem modulum plures huiusmodi expressiones evolvere occasio est, id lucramur, ut plures ex eodem fonte haurire possimus. Ita ex. gr. semper unicum saltem valorem expressionis determinare in potestate erit,