51
radices primitivae, indices.
sit valor quicunque expressionis , quam valores reales habere
ex art. 31 perspicuum; eritque , at propter .
Quare adeoque quicunque ipsius valor erit etiam valor ipsius
. Quoties igitur valores reales habet, expressioni prorsus
aequivalens erit, quoniam illa neque alios habet quam haec neque pauciores, licet
quando nullum valorem realem habet, fieri tamen possit, ut valores
reales habeat.
Ex. Si valores expressionis quaeruntur, erit numerorum
et divisor communis maximus , expressionisque valor
aliquis , quare si valores reales habet, huic expressioni sive
aequivalebit, invenieturque revera, posterioris expressionis valores, qui sunt , , ,
etiam priori satisfacere.
64.
Ne autem hanc operationem incassum suscepisse periclitemur, regulam investigare
oportet, per quam statim diiudicari possit, utrum valores reales
admittat necne. Quodsi tabula indicum habetur, res in promtu est; namque ex
art. 60 manifestum est, valores reales dari, si ipsius index, radice quacunque
primitiva pro basi accepta, per sit divisibilis, sin vero minus, non dari. Attamen
hoc etiam absque tali tabula inveniri potest. Posito enim indice ipsius
, si hic fuerit per divisibilis, erit per divisibilis et vice
versa. Atqui numeri index erit . Quare si habet
valores reales, unitati congruus erit, sin minus, incongruus. Ita in exemplo
art. praec. habetur , unde concluditur
valores reales habere. Similiter certiores hinc fimus , semper
valores binos reales habere, quando sit formae , nullum vero, quando
sit formae ; propter et . Elegans hoc
theorema, quod vulgo ita profertur: Si est numerus primus formae , inveniri potest quadratum , ita ut per fiat divisibilis; si vero est formae , tale quadratum non datur, hoc modo demonstratum est ab ill. Eulero,
Comm. nov. Acad. Petrop. T. XVIII p. 112 ad annum 1773. Demonstrationem
aliam iam multo ante dederat, Comm. nov. T. V. p. 5, qui prodiit a. 1760. In
dissert. priori, Comm. nov. T. IV. p. 25, rem nondum perfecerat. Postea etiam
7*