Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/62

Haec pagina emendata est

52

de residuis potestatum.

ill. La Grange theorematis demonstrationem tradidit, Nouveaux Mém. de l'Ac. de Berlin A. 1775 p. 342. Aliam adhuc demonstrationem in sectione sequenti, ubi proprie de hoc argumento agendum erit, dabimus.

65.

Postquam omnes expressiones $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}{\pmod {p}}$ ad tales reducere docuimus, ubi $n$ divisor numeri $p-1$ , criteriumque nacti sumus, utrum valores reales admittat necne, tales expressiones $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}{\pmod {p}}$ , ubi $n$ ipsius $p-1$ est divisor, accuratius considerabimus. Primo ostendemus, quam relationem valores singuli expressionis inter se habeant, tum artificia quaedam trademus, quorum auxilio unus valor expressionis saepenumero inveniri possit.

Primo. Quando $A\equiv 1$ atque $r$ aliquis ex $n$ valoribus expressionibus $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {1}{\pmod {p}}$ , sive $\textstyle r\equiv 1{\pmod {p}}$ , omnes etiam ipsius $r$ potestates erunt valores istius expressionis; horum autem totidem erunt diversi, quot unitates habet exponens, ad quem $r$ pertinet (art. 48). Quodsi igitur $r$ est valor ad exponentem $n$ pertinens, potestates ipsius $r$ hae $r,r^{2},r^{3}\ldots r^{n}\!$ (ubi loco ultimae unitas substitui potest) omnes expressionis $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {1}{\pmod {p}}$ valores involvent. Qualia autem subsidia exstent ad tales valores inveniendos, qui ad exponentem $n$ pertineant, in Sect. VIII fusius explicabimus.

Secundo. Quando $A$ unitati est incongruus, unusque valor expressionis $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}{\pmod {p}}$ notus, qui sit $z$ , reliqui hoc modo inde deducuntur. Sint valores expressionis ${}^{n}\!\!\!\surd {1}$ hi $1,r,r^{2}\ldots r^{n-1}$ (uti modo ostendimus), eruntque omnes expr. ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ valores hi $z,zr,zr^{2}\ldots zr^{n-1}$ namque omnes hos congruentiae $x^{n}\equiv A$ satisfacere inde manifestum, quod, posito quocunqueeorum $\equiv zr^{k}\!$ , potestas ipsius $n^{\mathrm {ta} }\!$ , $z^{n}r^{nk}\!$ , propter $r^{n}\equiv 1$ et $z^{n}\equiv A$ , ipsi $A$ fit congrua: omnes diverses esse ex art. 23 facile intelligitur; plures autem valores quam hos, quorum numerus est $n$ , expressio ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ habere nequit. Ita ex. gr. si alter expressionis ${}^{2}\!\!\!\surd {A}$ valor est $z$ , alter erit $-z$ . Denique hinc