ipso minorem fore. Denique etiam ipsius residuum erit, i. e. non erit minimus numerus, qui inductioni nostrae adversatur, contra hyp. Quare necessario omnium numerorum formarum , non-residuum.
Combinando haec cum prop. art. 111, prodeunt theoremata haec:
I. Omnium numerorum primorum , tum tum sunt non-residua, uti iam in art. praec. invenimus.
II. Omnium numerorum primorum formae , est non-residuum, vero residuum.
Ceterum in utraque demonstratione pro etiam valorem parem accipere potuissemus; tunc autem casum ubi fuisset formae , ab eo distinguere oportuisset, ubi formae . Evolutio autem perinde procedit uti supra, nullique difficultati est obnoxia.
Unus adhuc superest casus, scilicet ubi numerus primus est formae . Hic vero methodum praecedentem eludit, artificiaque prorsus peculiaria postulat.
Sit pro modulo primo , radix quaecunque primitiva , eritque (art. 62) , quae congruentia ita etiam exhiberi potest, , sive etiam ita, . Unde sequitur, tum tum ipsius esse residuum: at quia est quadratum per modulum non divisibile, manifeste etiam tum tum residua erunt (art. 98).
Haud inutile erit, adhuc aliam huius theorematis demonstrationem adiicere, quae similem relationem ad praecedentem habet, ut theorematis art. 108 demonstratio secunda (art. 109) ad primam (art. 108). Periti facilius tunc perspicient, binas demonstrationes tam illas quam has non adeo heterogeneas esse, quam primo forsan aspectu videantur.
I. Pro modulo quocunque primo formae , inter numeros ipso minores , , , reperientur , qui biquadrato congrui esse possunt, reliqui vero non poterunt.
Facile quidem hoc ex principiis Sect. praec. derivatur, sed etiam absque his demonstratio haud difficilis. Demonstravimus enim, pro tali modulo sem-
