vero hoc theorema supponere velimus, facilius adhuc demonstratio exhiberi poterit. Scilicet inter numeros , , erunt residua quadratica ipsius totidemque non-residua; quare non-residuorum multitudo erit par, quando est formae ; impar, quando est formae . Hinc productum ex omnibus numeris , , in priori casu erit residuum, in posteriori non-residuum (art. 99). At productum hoc semper ; adeoque etiam in priori casu residuum, in posteriori non-residuum erit.
Si itaque est residuum numeri alicuius primi formae , etiam huius primi residuum erit; omnia autem talis numeri non-residua, etiam signo contrario sumta non-residua manebunt[1]. Contrarium evenit pro numeris primis formae , quorum residua quando signum mutatur, non-residua fiunt et vice versa, vid. art. 98.
Ceterum facile ex praecedentibus derivatur regula generalis: est residuum omnium numerorum, qui neque per neque per ullum numerum primum formae dividi possunt; omnium reliquorum non-residuum. V. artt. 103 et 105.
Progredimur ad residua et .
Si ex tabula II colligimus omnes numeros primos, quorum residuum est , hos habebimus: 7, 17, 23, 31, 41, 47, 71, 73, 79, 89, 97. Facile autem animadvertitur, inter hos numeros nullos inveniri formarum et .
Videamus itaque, num haec inductio ad certitudinem evehi possit.
Primum observamus, quemvis numerum compositum formae vel necessario factorem primum alterutrius formae vel , involvere; manifesto enim e solis numeris primis formarum , , alii numeri quam qui sunt formae vel , componi nequeunt. Quodsi itaque inductio nostra generaliter est vera, nullus omnino numerus formae
- ↑ Quando igitur de numero quocunque loquemur quatenus numeri formae residuum vel non-residuum est, ipsius signum omnino negligere sive etiam signum anceps ipsi tribuere poterimus.
