Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/89

Haec pagina emendata est
79
moduli qui sunt numeri compositi.

etiam per divisibilis, adeoque etiam (quia certo non maior quam ) i. e. ; sive per , contra hyp.

3) Quando atque par. Tum erit residuum vel non-residuum ipsius , prout est residuum vel non-residuum ipsius . Quando enim est residuum ipsius , erit etiam residuum ipsius . Posito autem erit , vero est quadratum. Quando autem est non-residuum ipsius , residuum ipsius esse nequit. Ponatur enim , eritque necessario per divisibilis. Quotiens erit quadratum, cui secundum modulum adeoque etiam secundum modulum congruus, i. e. erit residuum ipsius contra hyp.


103.

Quoniam casum exclusimus, de hoc adhuc quaedam dicenda. Quando numerus est modulus, numerus quicunque erit residuum, non-residua nulla erunt. Quando vero est modulus, omnes numeri impares formae erunt residua, omnes vero formae non-residua. Tandem quando aut altior potestas numeri est modulus, omnes numeri impares formae erunt residua, reliqui vero, seu ii qui sunt formarum , , , erunt non-residua. Pars posterior huius propositionis inde clara, quod quadratum cuiusvis numeri imparis, sive sit formae , sive formae , fit formae . Priorem ita probamus.

1) Si duorum numerorum vel summa vel differentia per est divisibilis, numerorum quadrata erunt congrua secundum modulum . Si enim alter ponitur , erit alter formae , cuius quadratum invenitur .

2) Quivis numerus impar, qui ipsius est residuum quadraticum, congruus erit quadrato alicui, cuius radix est numerus impar et . Sit enim quadratum quodcunque, cui numerus ille congruus, atque numerus , ita ut moduli semissem non superet (art. 4), eritque . Quare etiam numerus propositus erit . Manifesto vero tum tum erunt impares atque .

3) Omnium numerorum imparium ipso minorum quadrata secundum incongrua erunt. Sint enim duo tales numeri et , quorum quadrata si secundum essent congrua, foret per divisibilis (posito ). Facile vero perspicitur numeros , simul per divisibiles esse non