Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/89

79

moduli qui sunt numeri compositi.

etiam per $p^{2\kappa +2}\!$ divisibilis, adeoque etiam (quia $2\kappa +2$ certo non maior quam $n$) $p^{k}A$ i. e. $p^{2\kappa +1}A$; sive $A$ per $p$, contra hyp.

3) Quando $k<n$ atque par. Tum $p^{k}A$ erit residuum vel non-residuum ipsius $p^{n}\!$, prout $A$ est residuum vel non-residuum ipsius $p$. Quando enim $A$ est residuum ipsius $p$, erit etiam residuum ipsius $p^{n-k}\!$. Posito autem $\textstyle A\equiv aa{\pmod {p^{n-k}}}$ erit $\textstyle Ap^{k}\equiv aap^{k}\!{\pmod {p^{n}}}$, $aap^{k}\!$ vero est quadratum. Quando autem $A$ est non-residuum ipsius $p$, $p^{k}A$ residuum ipsius $p^{n}\!$ esse nequit. Ponatur enim $\textstyle p^{k}A\equiv aa{\pmod {p^{n}}}$, eritque necessario $aa$ per $p^{k}\!$ divisibilis. Quotiens erit quadratum, cui $A$ secundum modulum $p^{n-k}\!$ adeoque etiam secundum modulum $p$ congruus, i. e. $A$ erit residuum ipsius $p$ contra hyp.

103.

Quoniam casum $p=2$ exclusimus, de hoc adhuc quaedam dicenda. Quando numerus $2$ est modulus, numerus quicunque erit residuum, non-residua nulla erunt. Quando vero $4$ est modulus, omnes numeri impares formae $4k+1$ erunt residua, omnes vero formae $4k+3$ non-residua. Tandem quando $8$ aut altior potestas numeri $2$ est modulus, omnes numeri impares formae $8k+1$ erunt residua, reliqui vero, seu ii qui sunt formarum $8k+3$, $8k+5$, $8k+7$, erunt non-residua. Pars posterior huius propositionis inde clara, quod quadratum cuiusvis numeri imparis, sive sit formae $4k+1$, sive formae $4k-1$, fit formae $8k+1$. Priorem ita probamus.

1) Si duorum numerorum vel summa vel differentia per $2^{n-1}\!$ est divisibilis, numerorum quadrata erunt congrua secundum modulum $2^{n}\!$. Si enim alter ponitur $=a$, erit alter formae $2^{n-1}h\pm a$, cuius quadratum invenitur $\textstyle \equiv aa{\pmod {2^{n}}}$.

2) Quivis numerus impar, qui ipsius $2^{n}\!$ est residuum quadraticum, congruus erit quadrato alicui, cuius radix est numerus impar et $<2^{n-2}\!$. Sit enim quadratum quodcunque, cui numerus ille congruus, $aa$ atque numerus $\textstyle a\equiv \pm \alpha {\pmod {2^{n-1}}}$, ita ut $\alpha$ moduli semissem non superet (art. 4), eritque $aa\equiv \alpha \alpha$. Quare etiam numerus propositus erit $\equiv \alpha \alpha$. Manifesto vero tum $a$ tum $\alpha$ erunt impares atque $\alpha <2^{n-2}\!$.

3) Omnium numerorum imparium ipso $2^{n-2}\!$ minorum quadrata secundum $2^{n}\!$ incongrua erunt. Sint enim duo tales numeri $r$ et $s$, quorum quadrata si secundum $2^{n}\!$ essent congrua, foret $(r-s)(r+s)$ per $2^{n}\!$ divisibilis (posito $r>s$). Facile vero perspicitur numeros $r-s$, $r+s$ simul per $4$ divisibiles esse non