Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/85

75

moduli qui sunt numeri primi

per $p$ divisibilis. At uterque factor $r-r'\!$, et $r+r'\!$ ipso $p$ est minor, quare suppositio consistere nequit (art. 13). Habentur itaque $\textstyle {\frac {1}{2}}(p-1)$ residua quadratica inter hos numeros $1$, $2$, $3$ $\ldots$ $p-1$ contenta; plura vero inter ipsos esse nequeunt, quia accedente residuo $0$ prodeunt $\textstyle {\frac {1}{2}}(p+1)$, quem numerum omnium residuorum multitudo superare nequit. Quare reliqui numeri erunt non-residua horumque multitudo $\textstyle ={\frac {1}{2}}(p-1)$.

Quum cifra semper sit residuum, hanc numerosque per modulum divisibiles ab investigationibus his excludimus, quia hic casus per se est clarus, theorematumque concinnitatem tantum turbaret. Ex eadem caussa etiam modulum $2$ exclusimus.

97.

Quum plura quae in hac Sect. exponemus, etiam ex principiis Sect. praec. derivari possint, neque inutile sit, eandem veritatem per methodos diversas perscrutari, hunc nexum ostendemus. Facile vero intelligitur, omnes numeros quadrato congruos, indices pares habere, eos contra, qui quadrato nullo modo congrui fieri possint, impares. Quia vero $p-1$ est numerus par, tot indices pares erunt quot impares, scilicet $\textstyle {\frac {1}{2}}(p-1)$, totidemque tum residua tum non-residua dabuntur.

Exempla. Pro modulis		sunt residua
3	…	1.
5	…	1, 4.
7	…	1, 2, 4.
11	…	1, 3, 4, 5, 9.
13	…	1, 3, 4, 9, 10, 12.
17	…	1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16.
	etc.

reliqui vero numeri his modulis minores, non-residua.

Quaestio, utrum numerus compositus residuum numeri primi dati sit an non-residuum, ab indole factorum pendet.

98.

Theorema. Productum e duobus residuis quadraticis numeri primi $p$, est residuum; productum e residuo in non-residuum, est non-residuum; denique productum e duobus non-residuis, residuum.

10*