Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/86

Haec pagina emendata est
76
de congruentiis secundi gradus.

Demonstr. I. Sint , residua e quadratis , oriunda sive , , eritque productum quadrato numeri ab congruum i. e. residuum.

II. Quando est residuum, puta , vero non-residuum, erit non-residuum. Ponatur enim, si fieri potest, , sitque valor expressionis ; erit itaque , unde , i. e. residuum contra hyp.

Aliter. Multiplicentur omnes numeri, qui inter hos , , sunt residua (quorum multitudo ), per omniaque producta erunt residua quadratica, et quidem erunt omnia incongrua. Iam si non-residuum per multiplicatur, productum nulli productorum quae iam habentur congruum erit; quare si residuum esset, haberentur residua incongrua, inter quae nondum est residuum , contra art. 96.

III. Sint , non-residua. Multiplicentur omnes numeri, qui inter hos , , sunt residua, per , habebunturque non-residua inter se incongrua (II); iam productum nulli illorum congruum esse potest; quodsi igitur esset non-residuum, haberentur non-residua inter se incongrua, contra art. 96. Quare productum etc. Q. E. D.

Facilius adhuc haec theoremata e principiis sect. praec. derivantur. Quia enim residuorum indices semper sunt pares, non-residuorum vero impares, index producti e duobus residuis vel non-residuis erit par, adeoque productum ipsum, residuum. Contra index producti e residuo in non-residuum erit impar adeoque productum ipsum non-residuum.

Utraque demonstrandi methodus etiam pro his theorematibus adhiberi potest: Expressionis valor erit residuum, quando numeri , simul sunt residua, vel simul non-residua; contra autem erit non-residuum, quando numerorum , alter est residuum, alter non-residuum. Possunt etiam ex conversione theorr. praecc. obtineri.


99.

Generaliter, productum ex quotcunque factoribus est residuum tum quando omnes sunt residua, tum quando non-residuorum, quae inter eos occurrunt, multitudo est par; quando vero multitudo non-residuorum quae inter factores reperiuntur, est impar, productum erit non-residuum. Facile itaque diiudicari potest,