Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/86

Haec pagina emendata est

76

de congruentiis secundi gradus.

Demonstr. I. Sint $A$ , $B$ residua e quadratis $aa$ , $bb$ oriunda sive $A\equiv aa$ , $B\equiv bb$ , eritque productum $AB$ quadrato numeri ab congruum i. e. residuum.

II. Quando $A$ est residuum, puta $\equiv aa$ , $B$ vero non-residuum, $AB$ erit non-residuum. Ponatur enim, si fieri potest, $AB\equiv kk$ , sitque valor expressionis $\textstyle {\frac {k}{a}}{\pmod {p}}\equiv b$ ; erit itaque $aaB\equiv aabb$ , unde $B\equiv bb$ , i. e. $B$ residuum contra hyp.

Aliter. Multiplicentur omnes numeri, qui inter hos $1$ , $2$ , $3$ $\ldots$ $p-1$ sunt residua (quorum multitudo $={\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(p-1)$ ), per $A$ omniaque producta erunt residua quadratica, et quidem erunt omnia incongrua. Iam si non-residuum $B$ per $A$ multiplicatur, productum nulli productorum quae iam habentur congruum erit; quare si residuum esset, haberentur ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(p+1)$ residua incongrua, inter quae nondum est residuum $0$ , contra art. 96.

III. Sint $A$ , $B$ non-residua. Multiplicentur omnes numeri, qui inter hos $1$ , $2$ , $3$ $\ldots$ $p-1$ sunt residua, per $A$ , habebunturque ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(p-1)$ non-residua inter se incongrua (II); iam productum $AB$ nulli illorum congruum esse potest; quodsi igitur esset non-residuum, haberentur ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(p+1)$ non-residua inter se incongrua, contra art. 96. Quare productum etc. Q. E. D.

Facilius adhuc haec theoremata e principiis sect. praec. derivantur. Quia enim residuorum indices semper sunt pares, non-residuorum vero impares, index producti e duobus residuis vel non-residuis erit par, adeoque productum ipsum, residuum. Contra index producti e residuo in non-residuum erit impar adeoque productum ipsum non-residuum.

Utraque demonstrandi methodus etiam pro his theorematibus adhiberi potest: Expressionis $\textstyle {\frac {a}{b}}{\pmod {p}}$ valor erit residuum, quando numeri $a$ , $b$ simul sunt residua, vel simul non-residua; contra autem erit non-residuum, quando numerorum $a$ , $b$ alter est residuum, alter non-residuum. Possunt etiam ex conversione theorr. praecc. obtineri.

99.

Generaliter, productum ex quotcunque factoribus est residuum tum quando omnes sunt residua, tum quando non-residuorum, quae inter eos occurrunt, multitudo est par; quando vero multitudo non-residuorum quae inter factores reperiuntur, est impar, productum erit non-residuum. Facile itaque diiudicari potest,