Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/84

Haec pagina emendata est

74

de congruentiis secundi gradus

ordine inverso recurrunt 10, 12, 3 etc. Quare numerus quisque, nulli ex istis residuis congruus, sive qui alicui ex his est congruus, 2, 5, 6, 7, 8, 11, nulli quadrato congruus esse potest.

Secundum modulum 15 haec inveniuntur residua 0, 1, 4, 9, 1, 10, 6, 4, post quae eadem ordine inverso recurrunt. Hic igitur numerus residuorum, quae quadrato congrua fieri possunt, minor adhuc est quam $\textstyle {\frac {1}{2}}m+{\frac {1}{2}}$ , quum sint 0, 1, 4, 6, 9, 10. Numeri autem 2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13, 14 et qui horum alicui sunt congrui, nulli quadrato secundum mod. 15 congrui fieri possunt.

95.

Hinc colligitur, pro quovis modulo omnes numeros in duas classes distingui posse, quarum altera contineat numeros, qui quadrato alicui congrui fieri possint, altera eos, qui non possint. Illos appellabimus residua quadratica numeri istius quem pro modulo accepimus^[1], hos vero ipsius non-residua quadratica, sive etiam, quoties ambiguitas nulla inde oriri potest, simpliciter residua et non-residua. Ceterum palam est sufficere, si omnes numeri $0$ , $1$ , $2$ $\ldots$ $m-1$ in classes redacti sint: numeri enim congrui ad eandem classem erunt referendi.

Etiam in hac disquisitione a modulis primis initium faciemus, quod itaque subintelligendum erit, etiamsi expressis verbis non moneatur. Numerus primus $2$ autem excludendus, sive numeri primi impares tantum considerandi.

Quoties modulus est numerus primus, multitudo residuorum ipso minorum multitudini non-residuorum aequalis.

96.

Numero primo $p$ pro modulo accepto, numerorum $1$ , $2$ , $3$ $\ldots$ $p-1$ semissis erunt residua quadratica, reliqui non-residua, i. e. dabuntur ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(p-1)$ residua totidemque non-residua.

Facile enim probatur, omnia quadrata $1$ , $4$ , $9\ldots$ ${\scriptstyle {\frac {1}{4}}}(p-1)^{2}\!$ esse incongrua. Scilicet si fieri posset $\textstyle rr\equiv r'\!r'\!{\pmod {p}}$ atque numeri $r$ , $r'\!$ inaequales et non

maiores quam ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(p-1)$ posito $r>r'\!$ i. q. licet, fieret $(r-r')(r+r')$ positivus et

↑ Proprie quidem hic casu secundo alio sensu utimur, quam hucusque fecimus. Dicere scilicet oporteret, $r$ esse residuum quadrati $aa$ secundum modulum $m$ quando $\textstyle r\equiv aa{\pmod {m}}$ ; at brevitatis gratia in hac sectione semper $r$ ipsius $m$ residuum quadraticum vocamus neque hinc ulla ambiguitas metuenda. Expressionem enim, residuum, quando idem significat quod numerus congruus, abhinc non adhibebimus, nisi forte de residuis minimis sermo sit, ubi nullum dubium esse potest.

[1] Proprie quidem hic casu secundo alio sensu utimur, quam hucusque fecimus. Dicere scilicet oporteret, $r$ esse residuum quadrati $aa$ secundum modulum $m$ quando $\textstyle r\equiv aa{\pmod {m}}$ ; at brevitatis gratia in hac sectione semper $r$ ipsius $m$ residuum quadraticum vocamus neque hinc ulla ambiguitas metuenda. Expressionem enim, residuum, quando idem significat quod numerus congruus, abhinc non adhibebimus, nisi forte de residuis minimis sermo sit, ubi nullum dubium esse potest.

[1]