Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/95

Haec pagina emendata est
85
residua et .

, dabitur, cuius residuum ; sicque nullus certe numerus huius formae infra exstat, cuius residuum sit . Si autem ultra hunc limitem tales numeri reperirentur, ponamus minimum omnium . Erit itaque vel formae vel ; ipsius residuum erit, omnium autem numerorum similium minorum non-residuum. Ponatur poteritque ita semper accipi, ut sit impar simulque , (habebit enim ad minimum duos valores positives ipso minores quorum summa , quorumque adeo alter par alter impar v. artt. 104. 105). Quo facto sit , sive , eritque formae , igitur formae , adeoque formae vel , prout est formae posterioris vel prioris. At ex aequatione sequitur, etiam i. e. etiam ipsius residuum fore. Facile vero perspicitur, esse , quare non est minimus numerus inductioni nostrae contrarius contra hyp. Unde manifesto sequitur id quod per inductionem inveneramus, generaliter verum esse.

Combinando haec cum prop. art. 111 sequentia theoremata nanciscimur.

I. Numerorum omnium primorum formae , erit non-residuum, vero residuum.

II. Numerorum omnium primorum formae tum tum erunt non-residua.


113.

Per similem inductionem ex tab. II inveniuntur numeri primi, quorum residuum est hi: 3, 11, 17, 19, 41, 43, 59, 67, 73, 83, 89, 97[1]. Inter quos quum nulli inveniantur formarum , , num etiam haec inductio theorematis generalis vim adipisci possit, investigemus. Ostenditur simili modo ut in art. praec., quemvis numerum compositum formae vel , factorem primum involvere formae vel formae , ita ut, si inductio nostra generaliter vera, nullius omnino numeri formae vel residuum esse possit. Si autem tales numeri darentur, ponatur omnium minimus , fiatque . Ubi si uti supra impar ipsoque minor accipitur, erit formae vel , prout formae vel .

At ex eo quod atque , quisquis facile derivare poterit, etiam

  1. Considerando scilicet tamquam productum ex et . V. art. 111.