Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/90

80

de congruentiis secundi gradus.

posse, quare si alter tantummodo per $2$ est divisibilis, alter, ut productum per $2^{n}\!$ divisibilis fieret, per $2^{n-1}\!$ divisibilis esse deberet, Q. E. A. quoniam uterque $<2^{n-2}\!$.

4) Quodsi denique haec quadrata ad residua sua minima positiva reducuntur, habebuntur $2^{n-3}\!$ residua quadratica diversa modulo minora^[1], quorum quodvis erit formae $8k+1$. Sed quum praecise $2^{n-3}\!$ numeri formae $8k+1$ modulo minores exstent, necessario hi omnes inter illa residua reperientur. Q. E. D.

Ut quadratum numero dato formae $8k+1$ secundum modulum $2^{n}\!$ congruum inveniatur, methodus similis adhiberi potest, ut in art. 101; vid. etiam art. 88. — Denique de numeris paribus eadem valent, quae art. 102 generaliter exposuimus.

104.

Circa multitudinem valorum diversorum (i. e. secundum modulum incongruorum), quos expressio talis $\textstyle V=\surd {A}{\pmod {p^{n}}}$ admittit, siquidem $A$ est residuum ipsius $p^{n}\!$ facile e praecc. colliguntur haec. (Numerum $p$ supponimus esse primum, ut ante, et brevitatis caussa casum $n=1$ statim includimus). I. Si $A$ per $p$ non est divisibilis, $V$ unum valorem habet pro $p=2$, $n=1$, puta $V\equiv 1$; duos, quando $p$ est impar, nec non pro $p=2$, $n=2$, puta ponendo unum $\equiv v$, alter erit $\equiv -v$; quatuor pro $p=2$, $n>2$, scilicet ponendo unum $\equiv v$, reliqui erunt $\equiv -v$, $2^{n-1}+v$, $2^{n-1}-v$. II. Si $A$ per $p$ divisibilis est, neque vero per $p^{n}\!$, sit potestas altissima ipsius $p$ ipsum $A$ metiens $p^{2\mu }\!$ (manifesto enim ipsius exponens par esse debebit) atque $A=ap^{2\mu }\!$. Tunc patet, omnes valores ipsius $V$ per $p^{\mu }\!$ divisibiles esse, et quotientes e divisione ortos fieri valores expr. $\textstyle V'=\surd {a}{\pmod {p^{n-2\mu }}}$; hinc omnes valores diversi ipsius $V$ prodibunt, multiplicando omnes valores expr. $V'$ inter $0$ et $p^{n-\mu }\!$ sitos per $p^{\mu }\!$ quare illi exhibebuntur per $vp^{\mu },\ vp^{\mu }+p^{n-\mu }\!,\ vp^{\mu }+2p^{n-\mu }\!\ldots \ vp^{\mu }+(p^{\mu }-1)p^{n-\mu }$ si $v$ indefinite omnes valores diversos expr. $V'$ exprimit, ita ut illorum multitudo fiat $p^{\mu }\!$, $2p^{\mu }\!$ vel $4p^{\mu }\!$, prout multitudo horum (per casum I) est $1$, $2$ vel $4$. III. Si $A$ per $p^{n}\!$ divisibilis est, facile perspicietur, statuendo $n=2m$ vel $=2m-1$, prout par est vel impar, omnes numeros per $p^{m}\!$ divisibiles, neque ullos alios, esse valores ipsius $V$; quare omnes valores diversi hi erunt $0$, $p^{m}\!$, $2p^{m}\!$ $\ldots$ $(p^{n-m}-1)p^{m}\!$, quorum multitudo $p^{n-m}\!$.

1. Puta quoniam multitudo numerorum imparium infra $2^{n-2}\!$ est $2^{n-3}\!$.