Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/125

115

formae divisorum ipsius $xx-A$.

rus primus positivus atque alicuius ex numeris $a$, $b$, $c$ etc. residuum vel non-residuum, hic ipse numerus ipsius $p$ residuum vel non-residuum erit (theor. fund.). Quare si inter numeros $a$, $b$, $c$ etc. sunt $m$, quorum non-residuum est $p$, totidem erunt non-residua ipsius $p$, adeoque si $p$ in aliqua formarum priorum continetur, erit $m$ par et $ARp$, si vero in aliqua posteriorum, erit $m$ impar atque $ANp$.

Ex. Sit $A$ = +105 = −3×+5×−7. Tum numeri $r$, $r'\!$, $r''\!$ etc. erunt hi: 1, 4, 16, 46, 64, 79 (qui sunt non-residua nullius numerorum 3, 5, 7); 2, 8, 23, 32, 53, 92 (qui sunt non-residua numerorum 3, 5); 26, 41, 59, 89, 101, 104 (qui sunt non-residua numerorum 3, 7); 13, 52, 73, 82, 97, 103 (qui sunt non-residua numerorum 5, 7). — Numeri autem $n$, $n'\!$, $n''\!$ etc. erunt hi: 11, 29, 44, 71, 74, 86; 22, 37, 43, 58, 67, 88; 19, 31, 34, 61, 76, 94; 17, 38, 47, 62, 68, 83. Seni primi sunt non-residua ipsius 3, seni posteriores non-residua ipsius 5, tum sequuntur non-residua ipsius 7, tandem ii qui sunt non-residua omnium trium simul.

Facile ex combinationum theoria atque artt. 32, 96 deducitur, numerorum $r$, $r'\!$, $r''\!$ etc. multitudinem fore $\textstyle =t(1+{\frac {l.l-1}{1.2}}+{\frac {l.l-1.l-2.l-3}{1.2.3.4}}+\ldots )$ numerorum $n$, $n'\!$, $n''\!$ etc. multitudinem $\textstyle =t(l+{\frac {l.l-1.l-2}{1.2.3}}+{\frac {l.l-1.\ldots l-4}{1.2.\ldots 5}}+\ldots )$ ubi $l$ designat multitudinem numerorum $a$, $b$, $c$ etc.; $t=2^{-l}(a-1)(b-1)(c-1)$ etc. et utraque series continuanda donec abrumpatur. (Dabuntur scilicet $t$ numeri qui sunt residua omnium $a$, $b$, $c$ etc., ${\tfrac {t.l.l-1}{1.2}}$ qui sunt non-residua duorum, etc. sed demonstrationem hanc fusius explicare brevitas non permittit). Utriusque autem seriei summa^[1] est $=2^{l-1}$. Scilicet prior prodit ex hac $1+(l-1)+{\tfrac {l-1.l-2}{1.2}}+\ldots$ iungendo terminum secundum et tertium, quartum et quintum etc., posterior vero ex eadem iungendo terminum primum atque secundum, tertium et quartum etc. Dabuntur itaque tot formae divisorum ipsius $xx-A$, quot dantur formae non-divisorum, scilicet ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(a-1)(b-l)(c-1)$ etc.

1. Neglecto factore $t$.

15*