Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/123

113

formae divisorum ipsius $xx-A$.

perspicitur per continuationem huius operationis tandem ad numeros perventum iri, quorum relationes per propp. artt. 108 — 114 determinari possint. Per exemplum haec clariora fient.

Ex. Quaeritur relatio numeri +453 ad 1236. Est 1236 = 4.3.103; +453R4 per II. 2(A); +453R3 per II. 1. Superest igitur ut relatio ipsius +453 ad 103 exploretur. Eadem autem erit quam habet +41 (≡ 453, mod. 103) ad 103; eadem ipsius +103 ad 41 (theor. fund.), sive ipsius −20 ad 41. At est −20R41; namque −20 = −1.2.2.5; −1R41 (art. 108); atque +5R41 ideo quod 41 ≡ 1 adeoque ipsius 5 residuum est (theor. fund.). Hinc sequitur +453R103, hincque tandem +453R1236. Est autem revera 453 ≡ 297² (mod. 1236).

De formis linearibus omnes numeros primos continentibus, quorum vel residuum vel non-residuum est numerus quicunque datus.

147.

Proposito numero quocunque $A$, formulae certae exhiberi possunt, sub quibus omnes numeri ad $A$ primi quorum residuum est $A$, continentur, sive omnes, qui esse possunt divisores numerorum formae $xx-A$ (designante $xx$ quadratum indeterminatum)^[1]. Sed brevitatis gratia ad eos tantum divisores respiciemus, qui sunt impares atque ad $A$ primi, quum ad hos casus reliqui facile reduci possint.

Sit primo $A$ aut numerus primus positivus formae $4n+1$, aut negativus formae $4n-1$. Tum secundum theorema fundamentale omnes numeri primi, qui, positive sumti, sunt residua ipsius $A$, erunt divisores ipsius $xx-A$: omnes autem numeri primi (excepto numero $2$ qui semper est divisor), qui ipsius $A$ sunt non-residua, erunt non-divisores ipsius $xx-A$. Sint omnia residua ipsius $A$ ipso $A$ minora (exclusa cifra) $r$, $r'\!$, $r''\!$ etc. omnia non-residua vero $n$, $n'\!$, $n''\!$ etc. Tum quivis numerus primus, in aliqua formarum $Ak+r$, $Ak+r'\!$ $Ak+r''\!$ etc. contentus, erit divisor ipsius $xx-A$, quivis autem primus in aliqua formarum $Ak+n$, $Ak+n'\!$ etc. contentus non-divisor erit, designante $k$ numerum integrum indeterminatum. Illas formas dicimus formas divisorum ipsius $xx-A$, has vero formas non-divisorum. Utrorumque multitudo erit ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(A-1)$. Porro si $C$ est numerus compositus impar atque $ARB$, omnes factores primi ipsius $B$ in aliqua for-

1. Huiusmodi numeros simpliciter divisores ipsius $xx-A$ dicemus, unde sponte patet quid sint non-divisores.

I. 15