Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/105

95

praeparatio ad disquisitionem generalem.

par vel impar) adeoque necessario per numerum aliquem primum formae $8n+3$ vel $8n+5$ divisibilis, productum enim ex quotcunque numeris formae $8n+1$ et $8n+7$ neque formam $8n+3$ neque hanc $8n+5$ habere potest. Sit hic $q$, eritque $\textstyle 8n+5\equiv 2a^{2}\!{\pmod {q}}$. At $2$ ipsius $q$ non-residuum erit (art. 112), adeoque etiam $2a^{2}$^[1] et $8n+5$. Q. E. D.

126.

Sed numerum quemvis primum formae $8n+1$ positive acceptum semper alicuius numeri primi ipso minoris non-residuum esse, per artificia tam obvia demonstrari nequit. Quum autem haec veritas maximi sit momenti, demonstrationem rigorosam, quamvis aliquantum prolixa sit, praeterire non possumus. Praemittimus sequens

Lemma. Si habentur duae series numerorum, $A,B,C,\mathrm {etc.} \ldots \mathrm {(I)}$, $\quad A',B',C',\mathrm {etc.} \ldots \mathrm {(II)}$ (utrum terminorum multitudo in utraque eadem sit necne, nihil interest) ita comparatae, ut, denotante $p$ numerum quemcunque primum aut numeri primi potestatem, terminum aliquem secundae seriei (sive etiam plures) metientem, totidem ad minimum termini in serie prima sint per $p$ divisibiles, quot sunt in secunda: tum dico productum ex omnibus numeris $\mathrm {(I)}$ divisibile fore per productum ex omnibus numeris $\mathrm {(II)}$.

Exempl. Constet $\mathrm {(I)}$ e numeris 12, 18, 45; $\mathrm {(II)}$ ex his 3, 4, 5, 6, 9. Tum divisibiles erunt per 2, 4, 3, 9, 5 in $\mathrm {(I)}$ 2, 1, 3, 2, 1 termini, in $\mathrm {(II)}$ 2, 1, 3, 1, 1 termini, respective; productum autem omnium terminorum $\mathrm {(I)}$ = 9720 divisibile est per productum omnium terminorum $\mathrm {(II)}$, 3240.

Demonstr. Sit productum ex omnibus terminis $\mathrm {(I)}$, $=Q$, productum omnium terminorum seriei $\mathrm {(II)}$, $=Q'\!$. Patet quemvis numerum primum, qui sit divisor ipsius $Q'\!$, etiam ipsius $Q$ divisorem fore. Iam ostendemus quemvis factorem primum ipsius $Q'\!$, in $Q$ totidem ad minimum dimensiones habere, quot habeat in $Q'\!$. Esto talis divisor $p$, ponaturque, in serie $\mathrm {(I)}$ $a$ terminos esse per $p$ divisibiles, $b$ terminos per $p^{2}\!$ divisibiles, $c$ terminos per $p^{3}\!$ divisibiles etc., similia denotent literae $a'\!$, $b'\!$, $c'\!$ etc. pro serie $\mathrm {(II)}$, perspicieturque facile, $p$ in $Q$ habere

1. Art. 98. Patet enim $a^{2}\!$ esse residuum ipsius $q$ per $q$ non divisibile, nam alias etiam numerus primus $p$ per $q$ foret divisibilis. Q. E. A.