Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/97

Haec pagina emendata est

87

residua

+2

et

-2

.

per esse residuum quadraticum. Sit itaque $ff\equiv -1$ patetque, si $z$ fuerit numerus quicunque per modulum non divisibilis, quaternorum numerorum $+z$ , $-z$ , $+fz$ , $-fz$ (duos incongruos esse facile perspicitur) biquadrata inter se congrua fore; porro manifestum est, biquadratum numeri cuiuscunque, qui nulli ex his quatuor congruus, illorum biquadratis congruum fieri non posse, (alias enim congruentia $x^{4}\equiv z^{4}\!$ quae est quarti gradus, plures quam $4$ radices haberet, contra art. 43). Hinc facile colligitur, omnes numeros $1$ , $2$ , $3$ , $\ldots$ $4m$ , tantummodo $m$ biquadrata incongrua praebere, quibus inter eosdem numeros $m$ congrui reperientur, reliqui autem nulli biquadrato congrui esse poterunt.

II. Secundum modulum primum formae $8n+1$ , $-1$ biquadrato congruus fieri poterit ( $-1$ erit residuum biquadraticum huius numeri primi).

Omnium enim residuorum biquadraticorum ipso $8n+1$ minorum (cifra exclusa) multitudo erit $=2n$ i. e. par. Porro facile probatur, si $r$ fuerit residuum biquadraticum ipsius $8n+1$ , etiam valorem expr. $\textstyle {\frac {1}{r}}{\pmod {8n+1}}$ fore tale residuum. Hinc omnia residua biquadratica in classes simili modo distribui poterunt, uti in art. 109 residua quadratica distribuimus: nec non reliqua demonstrationis pars prorsus eodem modo procedit ut illic.

III. Iam sit $g^{4}\equiv -1$ , et $h$ valor expr. $\textstyle {\frac {1}{g}}{\pmod {8n+1}}$ . Tunc erit $(g\pm h)^{2}=g^{2}+h^{2}\pm 2gh\equiv g^{2}+h^{2}\pm 2$ (propter $gh\equiv 1$ ). At $g^{4}\equiv -1$ , adeoque $-h^{2}\equiv g^{4}h^{2}\equiv g^{2}\!$ , unde tandem $g^{2}+h^{2}\equiv 0$ , atque $(g\pm h)^{2}\equiv \pm 2$ i. e. tum $+2$ tum $-2$ residuum quadraticum ipsius $8n+1$ . Q. E. D.

116.

Ceterum ex praecc. facile regula sequens generalis deducitur : $+2$ est residuum numeri cuiusvis, qui neque per $4$ , neque per ullum primum formae $8n+3$ vel $8n+5$ dividi potest, reliquorum autem (ex. gr. omnium numerorum formarum $8n+3$ , $8n+5$ , sive sint primi, sive compositi) non-residuum.

$-2$ est residuum numeri cuiusvis, qui neque per $4$ , neque per ullum primum formae $8n+5$ vel $8n+7$ dividi potest, omnium autem reliquorum non-residuum.

Theoremata haec elegantia iam sagaci Fermatio innotuerunt, Op. Mathem. p. 168. Demonstrationem vero quam se habere professus est, nusquam commu-