Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/97

Haec pagina emendata est
87
residua et .

per esse residuum quadraticum. Sit itaque patetque, si fuerit numerus quicunque per modulum non divisibilis, quaternorum numerorum , , , (duos incongruos esse facile perspicitur) biquadrata inter se congrua fore; porro manifestum est, biquadratum numeri cuiuscunque, qui nulli ex his quatuor congruus, illorum biquadratis congruum fieri non posse, (alias enim congruentia quae est quarti gradus, plures quam radices haberet, contra art. 43). Hinc facile colligitur, omnes numeros , , , , tantummodo biquadrata incongrua praebere, quibus inter eosdem numeros congrui reperientur, reliqui autem nulli biquadrato congrui esse poterunt.

II. Secundum modulum primum formae , biquadrato congruus fieri poterit ( erit residuum biquadraticum huius numeri primi).

Omnium enim residuorum biquadraticorum ipso minorum (cifra exclusa) multitudo erit i. e. par. Porro facile probatur, si fuerit residuum biquadraticum ipsius , etiam valorem expr. fore tale residuum. Hinc omnia residua biquadratica in classes simili modo distribui poterunt, uti in art. 109 residua quadratica distribuimus: nec non reliqua demonstrationis pars prorsus eodem modo procedit ut illic.

III. Iam sit , et valor expr. . Tunc erit (propter ). At , adeoque , unde tandem , atque i. e. tum tum residuum quadraticum ipsius . Q. E. D.


116.

Ceterum ex praecc. facile regula sequens generalis deducitur : est residuum numeri cuiusvis, qui neque per , neque per ullum primum formae vel dividi potest, reliquorum autem (ex. gr. omnium numerorum formarum , , sive sint primi, sive compositi) non-residuum.

est residuum numeri cuiusvis, qui neque per , neque per ullum primum formae vel dividi potest, omnium autem reliquorum non-residuum.

Theoremata haec elegantia iam sagaci Fermatio innotuerunt, Op. Mathem. p. 168. Demonstrationem vero quam se habere professus est, nusquam commu-