Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/394

384

variae disquisitionum praecedentium applicationes.

tissae fractionis $F$ figuram primam, duas … $e$ figuras primas resp., manifestum est, in hac mantissa post primas $e$ figuras, neque prius, easdem iterum repeti. Has primas $e$ figuras, e quibus infinities repetitis mantissa formata est, periodum huius mantissae sive fractionis $F$ vocare possumus, patetque, magnitudinem periodi, i. e. multitudinem figurarum, e quibus constat, quae est $=e$, a numeratore $a$ omnino independentem esse, et per solum denominatorem determinari. Ita e. g. periodus fractionis 1/11 est 09, fractionis 3/7 periodus 428571^[1].

315.

Simulac igitur fractionis alicuius periodus habetur, mantissa ad figuras quotcunque produci poterit. Porro patet, si fuerit $\textstyle b\equiv 10^{\lambda }a{\pmod {p^{\mu }}}$, periodum fractionibus ${\tfrac {b}{p^{\mu }}}$ oriri, si primae $\lambda$ figurae periodi fractionis $F$ (supponendo $\lambda <e$ quod licet) reliquis $e-\lambda$ postscribantur, adeoque cum periodo fractionis $F$ simul periodos omnium fractionum haberi, quarum numeratores ipsis $10a$, $100a$, $1000a$ etc. secundum denominatorem $p^{\mu }\!$ sint congrui. Ita e. g. quum 6 ≡ 3.10² (mod. 7), periodus fractionis 6/7 statim e periodo fractionis 3/7 fit 857142.

Quoties itaque pro modulo $p^{\mu }\!$ numerus $10$ est radix primitiva (artt. 57, 89), e periodo fractionis ${\tfrac {1}{p^{\mu }}}$ protinus deduci poterit periodus cuiusvis alius fractionis ${\tfrac {m}{p^{\mu }}}$ (cuius numerator $m$ per $p$ non divisibilis), tot figuras ab illa a laeva resecando et ad dextram restituendo, quot unitates habet index ipsius $m$, numero $10$ pro basi accepto. Hinc perspicuum est, quamobrem in hocce casu numerus $10$ in tabula I semper pro basi acceptus sit (v. art. 72).

Quando vero $10$ non est radix primitiva, e periodo fractionis ${\tfrac {1}{p^{\mu }}}$ earum tantummodo fractionum periodi exscindi possunt, quarum numeratores alicui potestati ipsius $10$ secundum $p^{\mu }\!$ sunt congrui. Sit $10^{e}\!$ potestas infima ipsius $10$ unitati secundum $p^{\mu }\!$ congrua, $(p-1)p^{\mu -1}=ef$, atque talis radix primitiva $r$ pro basi accepta, ut index numeri $10$ fiat $f$ (art. 71). In hoc itaque systemate numeratores fractionum, quarum periodi e periodo fractionis ${\tfrac {1}{p^{\mu }}}$ exscindi possunt, habebunt indices $f$, $2f$, $3f$ $\ldots$ $ef-f$; simili modo e periodo fractionis ${\tfrac {r}{p^{\mu }}}$ deduci possunt periodi fractionum, quarum numeratores $10r$, $100r$, $1000r$ etc. indicibus $f+1$, $2f+1$, $3f+1$ etc. respondentes; e periodo fractionis cum numeratore $rr$ (cuius index $2$) deducentur periodi fractionum cum numeratoribus quo-

1. Cel. Robertson periodi initium et finem duobus punctis figurae primae et ultimae suprascriptis indicat (Theory of circulating fractions, Philos. Trans. 1769 p. 207), quod hic non necessarium putamus.