Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/124

114

de congruentiis secundi gradus.

marum priorum continentur adeoque etiam $B$. Quare quivis numerus impar in forma non-divisorum contentus, erit non-divisor formae $xx-A$. Sed hoc theorema convertere non licet; nam si $B$ est non-divisor compositus impar formae $xx-A$, inter factores primos ipsius $B$ aliqui non-divisores erunt, quorum multitudo si est par, $B$ nihilominus in aliqua forma divisorum reperietur. V. art. 99.

Ex. Hoc modo pro $A$ = −11 formae divisorum ipsius $xx$+11 inveniuntur hae: 11k+1, 3, 4, 5, 9; formae non-divisorum autem erunt 11k+2, 6, 7, 8, 10. Erit itaque −11 non-residuum omnium numerorum imparium, qui in aliqua posteriorum formarum continentur, residuum autem omnium primorum ad aliquam priorum pertinentium.

Similes formae dantur pro divisoribus atque non-divisoribus ipsius $xx-A$, quemcunque numerum designet $A$. Sed facile perspicitur, eos ipsius $A$ valores tantummodo considerari oportere, qui per nullum quadratum sint divisibiles; patet enim si fuerit $A=a^{2}A'\!$, omnes divisores^[1] ipsius $xx-A$ etiam fore divisores ipsius $xx-A'\!$, similiterque non-divisores. — Distinguemus autem tres casus, 1) quando $A$ est formae $+(4n+1)$ vel $-(4n-1)$. 2) quando $A$ est formae $-(4n+1)$ vel $+(4n-1)$. 3) quando $A$ est par sive formae $\pm (4n+2)$.

148.

Casus primus, quando $A$ est formae $+(4n+1)$ vel $-(4n-1)$. Resolvatur $A$ in factores suos primos, tribuaturque iis qui sunt formae $4n+1$, signum positivum, iis vero qui sunt formae $4n-1$, signum negativum (unde fiet productum ex ipsis $=A$). Sint hi factores $a$, $b$, $c$, $d$ etc. Distribuantur omnes numeri ipso $A$ minores et ad $A$ primi in duas classes, et quidem in primam classem omnes numeri, qui sunt nullius ex numeris $a$, $b$, $c$, $d$ etc. non-residua, aut duorum, aut quatuor aut generaliter multitudinis paris; in secundam vero ii, qui sunt non-residua unius ex numeris $a$, $b$, $c$ etc. aut trium etc. aut generaliter multitudinis imparis. Designentur priores per $r$, $r'\!$, $r''\!$ etc., posteriores per $n$, $n'\!$, $n''\!$ etc. Tum formae $Ak+r$, $Ak+r'\!$, $Ak+r''\!$ etc. erunt formae divisorum ipsius $xx-A$, formae vero $Ak+n$, $Ak+n'\!$ etc. erunt formae non-divisorum ipsius $xx-A$ (i. e. numerus quicunque primus, praeter $2$, erit divisor aut non-divisor ipsius $xx-A$, prout in aliqua formarum priorum aut posteriorum continetur). Si enim $p$ est nume-

1. Nempe qui sint primi ad $A$.