Usor:Aubrey/Sandbox

Autore: Leonardo Fibonacci Titolo: Liber Abaci Pubblicazione: Roma : Biblioteca Italiana, 2003 Lingua: ita Genere: Trattati Periodo: 200

Descrizione fonte cartacea

Titolo: Il liber abbaci di Leonardo Pisano / pubblicato secondo la lezione del Codice Magliabechiano C. 1., 2616, Badia fiorentina, n. 73 da Baldassarre Boncompagni Autore: Fibonacci, Leonardo Altra resp.: Boncompagni, Baldassarre Pubblicazione: Roma : tipografia delle scienze matematiche, 1857 Record SBN: IT\ICCU\UFI\0340947

Versioni digitali disponibili

Versione XML Dimensione: 102 Kb Set di caratteri: UTF-8 Mark-up language: TEI P4 - BibIt L2 Affidabiltà linguistica: Livello medio: controllo a video con collazione con edizione di riferimento URI: http://www.bibliotecaitaliana.it/archivio/leonardofibonacci/liber_abaci/leonardofibonacci_liber_abaci.xml

Versione HTML URI: http://www.bibliotecaitaliana.it:6336/dynaweb/bibit/autori/l/leonardofibonacci/liber_abaci

Copyright

Questo documento digitale è liberamente accessibile per uso personale o scientifico in base a quanto stabilito dalla Licenza d'uso BibIt

(http://www.bibliotecaitaliana.it/license). Ogni uso commerciale è vietato

Prologus

Incipit liber Abaci Compositus a leonardo filio Bonacij Pisano In Anno MCCII. Scripsistis mihi domine mi magister Michael Scotte, summe philosophe, ut librum de numero, quem dudum composui, vobis transcriberem: unde vestrae obsecundans po- stulationi, ipsum subtiliori perscrutans Indagine ad vestrum honorem et aliorum mul- torum utilitatem correxi. In cuius correctione quedam necessaria addidi, et quedam su- perflua resecavi. In quo plenam numerorum doctrinam edidi, iuxta modum indorum, quem modum in ipsa scientia prestantiorem elegi. Et que arismetrica et geometria scientia sunt connexe, et suffragatorie sibi ad invicem, non potest de numero plena tradi doctrina, nisi intersecantur geometrica quedam, vel ad geometriam spectantia, que hic tantum iuxta modum numeri operantur; qui modus est sumptus ex multis proba- tionibus et demonstrationibus, que figuris geometricis fiunt. Verum in alio libro, quem de practica Geometrie composui, ea que ad Geometriam pertinent et alia plura copiosis explicavi, singula subiectis approbationibus geometricis demonstrando. Sane hic liber ma- gis ad theoricam spectat quam ad praticam. Unde qui per eum huius scientie prac- ticam bene scire voluerint, oportet eos continue usu et exercitio diuturno in eius pra- ticis perstudere: quod scientia per practicam versa in habitum, memoria et intellectus adeo concordent cum manibus et figuris, quod quasi uno impulsu et anelitu in uno et eodem instanti circa idem per omnia naturaliter consonent: et tunc cum fuerit di- scipulus habitudinem consecutus, gradatim poterit ad perfectionem huius facile perve- nire. Et ut facilior pateret doctrina, hunc librum per XV distinxi capitula: ut quicquid de his lector voluerit, possit levius invenire. Porro si in hoc opere reperitur insufficientia vel defectus, illud emendationi vestre subicio. Cum genitor meus a patria publicus scriba in duana bugee pro pisanis mercatoribus ad eam confluentibus constitutus preesset, me in pueritia mea ad se venire faciens, inspecta utilitate et commoditate futura, ibi me studio abbaci per aliquot dies stare voluit et doceri. Ubi ex mirabili magisterio in arte per novem figuras indorum intro- ductus, scientia artis in tantum mihi pre ceteris placuit, et intellexi ad illam, quod quicquid studebatur ex ea apud egyptum, syriam, greciam, siciliam et provinciam cum suis variis modis, ad que loca negotiationis tam postea peragravi per multum studium et disputationis didici conflictum. Sed hoc totum etiam et algorismum atque arcus picta- gore quasi errorem computavi respectu modi indorum. Quare amplectens strictius ipsum modum indorum, et attentius studens in eo, ex proprio sensu quedam addens, et quedam etiam ex subtilitatibus euclidis geometrice artis apponens, summam huius libri, quam in- telligibilius potui, in XV capitulis distinctam componere laboravi, fere omnia que in- serui, certa probatione ostendens, ut extra, perfecto pre ceteris modo, hanc scientiam ap- petentes instruantur, et gens latina de cetero, sicut hactenus, absque illa minime inve- niatur. Si quid forte minus aut plus iusto vel necessario intermisi, mihi deprecor indulgeatur; cum nemo sit qui vitio careat, et in omnibus undique sit circumspectus.

Capitula Explicit prologus. Incipiunt capitula. De cognitione novem figurarum yndorum, et qualiter cum eis omnis numerus scribatur; et qui numeri, et qualiter retineri debeant in manibus, et de introductionibus ab- baci. De multiplicatione integrorum numerorum. De additione ipsorum ad invicem. De extractione minorum numerorum ex maioribus. De divisione integrarum numerorum per integros. De multiplicatione integrarum numerorum cum ruptis atque ruptorum sine sanis. De additione ac extractione et divisione numerorum integrarum cum ruptis atque par- tium numerorum in singulis partibus reductione. De emptione et venditione rerum venalium et similium. De baractis rerum venalium et de emptione bolsonalie, et quibusdam regulis similibus. De societatibus factis inter consocios. De consolamine monetarum atque eorum regulis, que ad consolamen pertinent. De solutionibus multarum positarum questionum quas erraticas appellamus. De regula elcataym qualiter per ipsam fere omnes erratice questiones solvantur. De reperiendis radicibus quadratis et cubitis ex multiplicatione et divisione seu extra- ctione earum in se, et de tractatu binomiorum et recisorum et eorum radicum. De regulis proportionibus geometrie pertinentibus: de questionibus aliebre et almuchabale.

Cap. I Incipit primum capitulum. Novem figure indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Cum his itaque novem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus, ut inferius demonstratur. Nam numerus est unitatum per- fusa collectio sive congregatio unitatum, que per suos in infinitum ascendit gradus. Ex quibus primus ex unitatibus, que sunt ab uno usque in decem, constat. Secundus ex decenis, que sunt a decem usque in centum, fit. Tertius fit ex centenis que sunt a centum usque in mille. Quartus fit ex millenis que sunt a mille usque in decem milia, et sic sequentium graduum in infinitum, quilibet ex decuplo sui antecedentis constat. Primus gradus in descriptione numerorum incipit a destera. Secundus vero versus sinistram sequi- tur primum. Tertius secundum sequitur. Quartus tertium, et quintus quartum, et semper sic versus sinistram gradus gradum sequitur. Figura itaque que in primo reperitur gradu se ipsam representat, hoc est: si in primo gradu fuerit figura unitatis, unum representat; si binarii, duo; si ternarij, tria, et ita per ordinem que secuntur, usque si novenarij: novem figure quidem que in secundo gradu fuerit, tot decenas representant, quot in primo unitates; hoc est si figura unitatis secundum occupat gradum, denotat decem; si binarij, viginti; si ternarij, triginta; si novenarij, nonaginta. Figura namque que in tertio fuerit gradu, tot centenas denotat, quot in secundo de- cenas, vel in primo unitates, ut si figura unitatis centum; si binarij, ducenta; si ternarij, trecenta, et novenarij, nongenta. Ipsa igitur que fuerit in quarto gradu tot mil- lenas quot in tertio centenas, aut in secundo decenas, vel in primo unitates denotat; et sic semper mutando gradum, numerus decuplando ascendit. Et ut hoc quod dictum est lucidius declarescat, ipsum cum figuris ostendatur. Si figura septenarij fuerit in primo gradu, et ternarij in secundo, ambe insimul 37 denotant; vel econtra:: figura ternarij in primo, et septenarij in secundo, 73 denotabunt. Item si figura quaternarij fuerit in primo, et unitatis in secundo sic 14, nimirum XIIII denotabunt: vel si figura unitatis fuerit in primo, et quaternarij in secundo sic 41, denotabunt XLI. Rursus in primo 72, et in secundo faciunt 27; contrarium enim facit 72. Si autem septuaginta tantum scribere voluerit, ponat in primo gradu 0, et post ipsum ponat figuram septenarii, sic 70; si octua- ginta sequatur zephirum figuram octonarij sic 80: hac itaque demonstratione quemlibet numerum a decem usque in centum cum duabus figuris scribere potes. Cum tribus vero a centum scribitur usque in mille; ut si figura octonarii fuerit in primo, et qui- narii in secundo, et unitatis in tertio 158, centum quinquaginta octo denotabunt; et econverso: si figura unitatis fuerit in primo, et quinarii in secundo, et octonarii in tertio 851, octigenta et quinquaginta unum denotabunt; vel econtra: si figura octo- narii fuerit in primo, et unitatis in secundo, et quinarii in tertio, denotabunt 518. Item si permutatim figura quinarii fuerit in primo, octonarii in secundo, et unitatis in tertio, denotabunt 185. Item si figura unitatis fuerit in primo, octonarii in secundo, et quinarii in tertio, nimirum denotabunt 581: tres vero unitates sic 111, centum unde- cim faciunt. Verum si quinquaginta tantum scribere volueris, in primo et in secundo gradu ponas zephyra, et in tertio figuram quinarii hoc modo 500; et sic cum duobus zephyris quemlibet centenariorum numerum scribere poteris. Et si centenaria cum de- cenis sive unitatibus scribere volueris, ponas in primo gradu zephyrum, in secundo de- cenas, et in tertio centenas quas volueris. Verbi gratia: si in primo gradu fiat zephyrum, et in secundo figura novenarii, et in tertio binarii, denotabunt 290. Si autem absque de- cenis centenaria cum unitatibus scribere volueris, pones in secundo gradu, scilicet in loco decenarii zephyrum, et in primo numerum unitatum quem voluerit, et in tertio centenariorum: ut si in primo fuerit figura novenarii, et in secundo zephyrum, et in tertio binarii 209; et sic secundum supradictam demonstrationem qualem volueris, numerus a centum usque in mille scribes cum tribus figuris. Cum quattuor namque a mille usque in decem milia, ut in sequenti cum figuris numeris super notatis ostenditur. MI 1001 MMXXIII 2023 MMMXXII 3022 MMMXX 3020 MMMMMDC 5600 MMM 3000 MCXI 1111 MCCXXXIIII 1234 MMMMCCCXXI 4321 Et sic in reliquis numeris est procedendum. Cum quinque namque figuris scribuntur omnes numeri, incipiendo a decem milia usque ad centum milia. Cum sex vero, a cen- tum milibus usque in mille milia, et sic deinceps, addendo figuram figuris, numerus gradatim in decuplum ascendit. Unde si contigerit quod aliquem numerum multarum figurarum propter multitudinem figurarum, quis legere vel intelligere nequeat, quali- ter legere et intelligere ipsum debeat, ostendere procurabo. De prima itaque figura, hoc est de figura primi gradus, dicat unum. De secunda que est in secundo gradu, dicat decem. De tertia que erit in tertio gradu, dicat centum, et adcentet eam in superiori parte. De quarta namque figura eiusdem numeri, dicat mille, et adcentet eam in inferiori parte. De quinta vero dicat decem milia. De sexta itaque centum milia, et adcentet eam in superiori parte. De septima dicat mille milia, et adcentet eam rursum in inferiori parte. De octava dicat decem milia milium. De nona dicat centum milia milium, et adcentet eam in superiori parte. De decima dicat mille milia milium, et adcentet eam in inferiori parte; et sic sem- per per hos tres numeros, scilicet per millenos, et decem millenos, et centum mille- nos et adcentando millenos in inferiori parte, et centum millenos in superiori, usque ad ultimum gradum numeri studeat adcentare. Et inde incipiat legere numerum ab ultimo gradu ipsius per acenta predicta, dicendo semper de inferioribus adcentis tot milia milium quot adcenta fuerint ante ipsa in inferiori parte versus primum gradum, et de superioribus adcentis, dicens tot centum milia, quot adcenta fuerint ante ipsam in inferiori parte similiter versus primum gradum numeri; et de figuris que non fuerint adcentate post quartum gradum numeri dicet tot decem millenas, quot adcenta fue- rint ante ipsas in inferiori parte; et sic poterit cognoscere et legere qualem voluerit numerum multarum figurarum. Et ut hoc melius intelligatur, quendam numerum octo figurarum proponamus 87654321. De uno namque qui est in primo gradu, dicet unum; de binario 2, que sunt in secundo, dicet decem; de ternario 3, qui sunt in tertio, dicet centum que adcententur in superiori parte. De quaternario est 4, qui sunt in quarto gradu, dicet mille, que adcententur in inferiori parte, ut in prescripto numero ostendi- tur. De quinario 5 qui est in quinto gradu, dicet decem milia; de senario 6 qui sunt in sexto gradu, dicet centum milia, que adcententur in superiori parte; de septenario 7 que est in septimo gradu, dicet mille milia que adcententur in inferiori parte; de octo- nario qui est in ultimo gradu, dicet decem milia: ergo habetur in supradicto numero octuaginta septem milia milium, propter duo inferiora adcenta, quorum unum est sub7 et aliud sub 4, et insuper sexcenta quinquaginta quattuor miliaria, et insuper CCCXXI. Item proponamus alium numerum de novem figuris 257604813, que pro or- dine adcentato cognoscitur quod continetur in ipso ducenta quinquaginta septem milia miliaria, et sexcenta quattuor miliaria, et octingenta tredecim. Item alius numerus de tredecim figuris proponatur 1007543289081, pro cuius adcentis cognoscitur ipsum esse mille, septem milia milia miliaria, et quingenta quadraginta tria milia miliaria, et du- centa octuaginta novem miliaria, et insuper octuaginta unum. Possumus enim aliam tra- dere regulam leviam que poteris citissime legere numerum plurium figurarum. Verbi gratia: proponamus numerum 15 figcurarum 678935784105296, dimissis tribus primis figuris, scilicet 296, super quibuslibet aliis tribus protrahe virgulam in modum arcus ut in pre- misso exemplo; et pro qualibet virgula dices; et illas tres figuras, quas in principio dimisistis, leges sicut stant; et sic dices sexcenta septuaginta octo milia milia milia mi- lium, cum quattuor sint virgule, et noningenta et triginta quinque milia milia milium, cum super sint tantum tres virgule et septingenta octuaginta quattuor milia milium, cum due super sint linee et 105 milia, cum una tantum sit virgula, et 296 pro illis tribus quas in principio dimisisti: et si per ultimum cum remanent una figura vel due, pone ipsas sub ultima virgula, et leges eas omnes IIIIor vel omnes quinque simul, et sic po- teris legere numerum quot cumque poteris figurarum. Predictis figuris earumque gradibus secundum materiam superius descriptam cum fre- quenti usu bene cognitis, opportet eos qui arte abbaci uti voluerint, ut subtiliores et inge- niores appareant scire computum per figuram manuum, secundum magistrorum abbaci usum antiquitus sapientissime inventam. Que signa sunt hec. Curvatio auricularis digiti sinistre manus super medium vole 1 palme manus notat unum. Curvatio quidem eiusdem cum anulari similiter super mediam volam duo, cum quibus curvatur medius tria. Cur- vatio autem anularis et medis 4 super mediam volam. Curvatio vero medii tantum 5. Anulari 6. Positio quippe auricularis sursum super volam 7, super quem locum cum po- nitur auricularis et anularis notantur 8: positio quidem eorumdem cum medio super eun- dem locum 9. Cum ab extremitate indicis et pollice fit circulus in nodo pollicis, de- notant 10. Cum pollex et index sunt extensi et tangunt se 20. Cum ab extremitate eo- rumdem sit circulus 30. Cum ponitur pollex super indicem in exteriori parte indicis 40. Curvatio pollicis super principium indicis 50. Curvatio indicis super curvatum pollicem60. Curvatio indicis super extremitatem extensi pollicis 70. Curvatio itaque indicis super virgulam extensi pollicis 80. Item curvatio totius indicis in se 90. Centenaria quoque et miliaria fiunt in dextera manu eodem ordine, scilicet signum unitatis facit 100 in dextera manu; binarii quidem 200; decenarii autem mille, et signum nonagesimum facit9000, ut in sequenti pagina picttis manibus demonstratur. Componuntur itaque in manibus cum his signis omnes reliqui numeri qui sunt a decem usque in decem milia hoc modo: ex signo vigenarii, et ex signo ternarii componuntur 23; et ex signo trium milium et ex signo quingentarum componuntur in dextera manu tria milia quingenta, et sic in- telligas in reliquis.

[Esempi di divisioni] Divisio 1346 per 4. Item si voluerit quis dividere 1346 per 4, ponat 4 sub 6 et dividat 13 per 4, cum non possit dividere 1, quod est in ultimo gradu numeri, exibunt 3 et remanet 1: ponat3 sub 3 et remanens 1 ponat sub eadem 3, et copulet ipsum 1 cum 4 que antecedunt3 in numero, erunt 14: sumat quartam de 14 que est 3 et remanent 2: ponat 3 inferius sub 4 et remanentia 2 superius, quibus copulatis cum 6, faciunt 26; que dividat per 4, exibunt 6 et remanent 2: ponat 6 sub 6 et remanentia 2 ponat sub virgula de 4 ex parte servata que notant duas quartas unius integri, que equales sunt medietati unius integri; et ante ipsas ponat numerum exeuntem ex divisione, scilicet 336; et sic ha- bebuntur 1/2 336 pro quesita divisione. Verbi gratia: divisimus primum 13 per 4, que 13 terminantur in tertio gradu. Quare ipsa esse centenaria cognoscimus, cum tertius gra- dus sit centenariorum. Divisis ergo tredecim centenariis per 4, veniunt centenaria tria et remanet unum centenarium indivisibile. Quare posuimus 3 in tertio gradu, scilicet in loco centenariorum et 1, quod fuit superfluum, posuimus super 6 et est denotans centum; et copulavimus ipsum 1 cum 4, fecerunt 14 que terminantur in secundo gradu, scilicet in loco decenarum. Quare denotant centenas decenas 14, quas divisimus per 4, venerunt tres decene, et duedecene remanserunt indivisibiles: quare posuimus 3 sub 4 et 2 super 4 in loco, videlicet decenarum, et copulavimus ipsa 2 cum 6 primi gradus. Ex quorum copulatione habuimus 26 unitates; cum ipsa copulatio terminet in primo gradu; et divisimus ipsas 26 unitates per 4, et venerunt unitates 6, et remanserunt 2. Quare posuimus 6 in loco unitatum, et duo posuimus super virgam de 4; et sic intel- ligatur de reliquis similibus divisionibus. Divisio 5439 per 5. Item si voluerit dividere 5439 per 5, ponat 5 sub 9 et dicat 1/5 de 5 est 1, quod po- nat sub 5 et 1/5 de 4 est 0, et remanent 4: ponat 0 sub 4, et pro remanentibus 4 co- pulet ipsa 4 cum 3 et dicat: 1/5 de 43 sunt 8 et remanent ipsa 3: ponat 8 sub 3 et ac- cipiat quintam de ipsis 3 copulatis cum 9, scilicet de 39, exibunt 7 et remanent 4: ponat 7 sub 9 et 4 super virgulam de 5 ex parte servatis et ante ponat numerum exeuntem ex divisione. Divisio 9000 per 7. Item si voluerit dividere 9000 per 7, ponat 7 sub primo zephyro, et dividat 9 per7, exibit 1 et remanent 2: ponat ergo 1 sub 9 et 2 desuper, quibus copulatis cum 0, quod est secus 9, faciunt 20 que dividat per 7, exibunt 2 et remanent 6: ponat 2 sub illo zephyro, et 6 desuper, quibus copulatis cum sequenti zephyro, faciunt 60 que dividat per 7, exibunt 8 et remanent 4: ponat 8 sub illo zephyro 0, et desuper ponat4, quibus copulatis cum zephyro primi gradus, faciunt 40, que dividat per 7, exibunt5, et remanent 5: ponat 5 sub ipso 0 et remanentia 5 ponat super virgulam de 7 ex parte descripta, et ante ipsam ponat numerum exeuntem ex divisione. Divisio 10000 per 8. Item si voluerit dividere 10000 per 8, ponat 8 sub 0 primi gradus et dicat: 1/8 de 10 est 1 et remanent 2: ponat 1 sub 0 tertii gradus, et desuper ponat 4 et accipiat 1/8 de40 que est 5 que ponat sub secundo gradu; et ut expleatur ordo graduum exeuntis nu- meri, ponendum est 0 sub 0 primi gradus, ut in hac descriptione cernitur. Divisio 120037 per 9. Item si 120037 per 9 dividere voluerit, describat 9 sub 7 et dicat: 1/9 de 12 est 1 et remanent 3: ponat 1 sub 2 et superius 3, et 1/9 de 30 est 3 et remanent 3: ponat 3 sub 0 quarti gradus, et desuper ponat 3; et iterum accipiat 9 de 30 quod est 3 et remanent 3: ponat 3 sub 0 tertii gradus et 3 ponat super ipsum 0: iterum et 1/9 de 33 est 3 et remanent 6: ponat 3 sub 3 et superius 6 et 1/9 de 67 est 7 et remanent 4: ponat7 sub 7 et remanentia 4 ponat super virgulam de 9 ex parte descripta. Et ita si secundum prescriptum dividendi ordinem dividere sciverit in aliquibus similibus divisionibus nun- quam poterit deviare: etiam per eundem modum omnes numeri dividi possunt per 11 et per 13: tamen oportet primum scire introductiones ipsorum ordinum aliorum suprascri- ptorum ut in tabulis divisionum superius continentur. Nam introductio de 11 ascendit ab uno usque in decies 11, scilicet in 110. Et introductio de 13 ascendit ab 1 usque in de- cies 13, scilicet 130. Divisione numerorum per 11. Notis quidem dictis introductionibus, et voluerit quis dividere 12532 per 11, ponat 11 sub 32. Et accipiat 1/11 de 12, que sunt in capite dividendi numeri quod est 1, et remanet 1. Ideo quia 1/11 de 11 est 1 sicut in suprascriptis tabulis ostenditur; ergo 1/11 de 12 est 1 et remanet 1. Pone itaque 1 sub 2 de ipsis 2 et remanens 1 ponat super2, et copulet ipsum 1 cum antecedente figura, scilicet cum 5, facient 15, de quibus accipiat1/11 que est 1 et remanet 4 dicta ratione; et ponat 7 sub 5 et remanentia 4 super 5 que copulet cum antecedente figura, scilicet cum 3, facient 43: de quibus iterum accipiat1/11 que est 3 et remanent 10: ideo quia 1/11 de 33 est 3, a quibus usque in 43 sunt 10: ergo1/11 de 43 est 3 et remanent 10 ut diximus: ponat ergo 3 sub 3, et 10 ponat super 43, hoc est ponat 1 super 4, que posita fuerunt super 5 et 0 ponet super 3, et copulet rursus ipsa 10 cum antecedente figura, scilicet cum 2 que sunt in primo gradu, erunt 102, de quibus iterum accipiet 1/11, erunt 9 et remanent 3: ponat 9 sub dictis 2 et remanentia3 ponat super virgulam de 11 ex parte servata, et habebit pro quesita divisione 3/11 1139. Divisio de Item si voluerit dividere 123586 per 13, positis 13 sub 86, dividat 123 per 13; cum12 minus sit de 13, exibunt 9 et remanent 6. Nam tertia decima de 117 est 9, a quibus usque in 123 desunt 6: ponat 9 sub 3 de ipsis 123 et remanentia 6 ponat super eisdem3 et copulabit ea cum 5, erunt 65, quorum 1/13 est 5: quare ponat 5 sub 5 et sub 8 ponat0 cum 8 minus sint de 13, et copulabit ipsa 8 cum 6 que sunt in primo gradu, erunt 86, quorum 1/13 cum sit 6 et remanent 8: ponet 6 in primo gradu exeuntis numeri, et 8 super virgam de 13, et habebit pro quesita divisione 8/13 9506: per hunc etiam modum possunt dividi numeri per 17 et per 19; tamen oportet scire introductiones ipsorum ordine aliorum suprascriptorum numerorum. Sed cum grave videatur ipsorum introductiones cordetenus posse retineri, qualiter per alium modum numeri dividantur per 17 et per 19, etiam et per alios numeros duarum figurarum, in suo loco demostrabimus.

[Esempi di problemi aritmetici.] De iuvenis vita reperienda Quidam iuvenis vixit per aliquot tempus; qui si vixisset quantum vixit, et iterum tantum, et 1/4 1/3 ex eo quod vixerat, et amplius unum annum, 100 annos vixisset. Que- ritur quantum vixerat. Hec enim positio similis est regule arboris, super quam si addideris bis longitudinem eiusdem arboris, et insuper 1/4 1/3 et 1, fient 100: quod sic faciendum est: extrahe 1 de 100, scilicet ipsum, qui superadditur annis, remanent 99: postea pone, iuvenis vixisset annos 12; qui si vixisset tantum quantum vixit, et iterum tantum, et 1/4 1/3 tanti, haberet annos 43. Ergo dices: pro annis 12, quos pono ut iuvenis vixisset, veniunt in summa anni 43: quid ponam, ut veniant in summa anni 99: mul- tiplica 12 per 99, erunt 1188; que divide per 43, exibunt anni 27/43 27; et tantum vixit iuvenis ille. Illud idem est dividere 99 per 1/4 1/3 3. De leone qui erat in puteo. Quidam leo est in quodam puteo, cuius profunditas est palmis 50; et ascendit co- tidie 1/7 unius palmi, et descendit 1/9. Queritur in quot diebus exierit de puteo. Pone, ut exiret extra puteum in diebus 63; ideo quia in 63 invenitur et 1/9 1/7: et vide quantum ascenderit leo ille, si descendendo in illis 63 diebus, ascendit enim septimas 63 unius palmi, que sunt palmi 9; et descendit novenas 63, que sunt palmi 7: quos extrahe de9, remanent palmi 2; et tot ascendit amplius quam descendat in diebus 63. Unde dices: pro diebus 63, quos pono, ascendit palmos 2; quid ponam, ut ascendat palmos 50: mul- tiplica 63 per 50, et divide per 2, exibunt dies 1575; et in tot diebus leo exiet de puteo. De duobus serpentibus. Item est serpens in plano cuiusdam turris, que est alta palmis 100; et ascendat co- tidie 1/3 unius palmi, et descendit cotidie 1/4. In summitate vero turris est aliud serpens, qui descendit cotidie 1/5, et ascendit 1/6: queritur in quot diebus. Infra turrim coniun- gentur: pone ut coniungantur in diebus 60. Ideo quia in 60 reperiuntur 1/6 1/5 1/4 1/3: vide ergo quantum se serpentes appropinquant in illis diebus 60. Inferior vero serpens ascendit in illis diebus 60 magis quam descendit palmis 5. Superior vero descendit magis quam ascendit palmis 2. Ergo appropinquantur palmi 7. Quare dicendum est: pro diebus 60, quos pono, appropinquantur serpentes palmi 7 quid ponam, ut appropinquantur palmi 100: multiplica 60 per 100, erunt 6000; que divide per 7, exibunt dies 1/7 857; et in tantum temporis coniungentur se. Nam si quesieris, in qua parte tur- ris se coniungerint, sic facies: multiplica 5, scilicet ascensionem inferioris serpentis, per 100, erunt 500; que divide per 7, exibunt palmi 3/7 71; et tot ascendit inferior ser- pens. Et si descensionem superioris serpentis, scilicet 2, per eundem 100 multiplicaveris, et summam per 7 diviseris, exibunt palmi 4/7 28 pro loco coniunctionis ipsorum a superiori parte. De petiis quatuor panni Quidam emit panni petias 4 pro bizantiis 80. Quarum primam emit aliquid; alteram emit 2/3 pretii illius prime. Tertiam vero emit 3/4 pretii secunde. Quartam autem emit4/5 pretii tertie. Queritur quantum valuit unaqueque petia. Pone, ut prima valeret bi- zantios 60; ideo quia in 60 reperiuntur 1/5 1/4 1/3. Ergo si prima valuit 60; secunda, cum valeret 2/3 ipsius, valuit bizantios 40; et tertia valuit bizantios 30, hoc est 3/4 pretii se- cunde. Quarta vero valuit bizantios 24, cum sint 4/5 de 30. Postea adde 60, et 40, et 30, et 24, scilicet posita pretii supradictarum quattuor petiarum, erunt 154; que cum velint esse 80, dic: pro 60, que pono pro pretio prime petie, veniunt in summa emptionis quat- tuor petiarum bizantii 154; quid ponam, ut veniant tantum in earundem summam 80. Multiplica 60 per 80, erunt 4800; que divide per regulam de 154, que est 1/2 0/7 0/11, exi- bunt bizantii 6/7 1/11 31. Et tot valuit prima petia. Item ut habeas pretium secunde. Multiplica 40 per 80, et divide iterum per 1/2 0/7 0/11, exibunt bizantii 4/7 8/11 20 pro pretio secunde petie. Item ut scias pretium tertie, multiplica 30 per 80, et divide 1/2 0/7 0/11, exibunt pro ipsius pretio bizantii 3/7 6/11 15: demum ut scias pretium quarte, multiplica24 per 80, et divide in 1/2 0/7 0/11, exibunt pro pretio ipsius bizantii 1/7 5/11 15: et scias quod in unaquaque suprascriptarum quattuor multiplicatio ei evitanda est 1/2. Aliter de eodem. Aliter ut redigatur hec questio ad regulam societatum, describe minuta per ordinem sic 4/5 3/4 2/3 1, et multiplica per 3; que per 4; que per 5, que sunt sub virgis, erunt 60, que serva. Item multiplica 2, que sunt super 3, per 4, que sunt sub 3, erunt 8; que per 5, erunt 40, que serva. Rursus multiplca 2, que sunt super 3 per 3, que sunt super 4, erunt 6; que per 5, erunt 30, que serva. Et adhuc multiplica 2, que sunt super 3, per 3, que sunt super 4, erunt 6; que multiplica per 4, que sunt super 5, erunt24: adde itaque quattuor servantes numeros insimul, scilicet 60, et 40, et 30, et 24, erunt 154. Et invenias regulam ipsorum, que est 1/2 0/7 0/11; et multiplica singulariter unum- quemque prescriptorum quattuor numerorum; et divide unamquamque multiplicationem per 1/2 0/7 0/11, et habebis pretium uniuscuiusque petie, hoc est per medietatem de 154. De tertia unius numeri ex quarta, cuius numeri sit quinta. Si queratur de tertius unius integri, de cuius numeri quarta sit quinta pars; pone igitur ut numerus ille sit 60; de quibus summe 1/4, que est 15; de quibus accipe 1/5, que est 3; que cum vellent esse tantum 1/3. Multiplica 60 per 1/3, erunt 2; que divide per 3, exibunt 2/3 6 pro numero illo. Aliter describe per ordinem: sit 1/5 1/4 1/3; deinde multiplica unum, quod est super 3 per 4; que per 5, erunt 20; que divide per multiplicationem de 1, quod est super 5 in 1, quod est super 4; que in 3; que multiplicatio est 3, exibunt similiter 2/3 6. De ovis. Quidam emit ova 7 pro numero uno, et vendidit ova 5 pro denario; et lucratus fuit denarios 19: queritur quot ipse in ovis investiverat: pone ut investiret denarios5, pro quibus habuit ova 35, que vendidit denarios 7: ergo lucratus fuit denarios 2 in illis denariis 5: qui denarii 2 vellent esse 19 denarii. Multiplica 19 per 5, et di- vide per 2, exibunt denarii 1/2 47; et tot investivit homo ille. Nam materiam inveniendi hanc regulam est hec. Ut discas a 5 usque in 7, desunt 2; in quibus divide multi- plicationem de 5 in 19, ut supra diximus. De eisdem ovis. Item si dixerit, quod emit ova 7 pro denariis 2, et vendidit ova 19 pro denariis 6; et lucratus est denarii 21; queritur quot investivit: scribe questionem sic; et multi- plica 7 per 6, erunt 42, que pone super 7; et multiplica 19 per 2, erunt 38, que pone super 19: post hec extrahe 38 de 42, remanent 4; multiplica 38 per 21, erunt 789; que divide per 4, exibunt denarii 1/2 199; et tot investivit. Et si proponatur, quod in- vestiret denarios 1/2 199, et queratur lucrum ipsius; multiplicabis 1/2 199 per 4, et divides per 38; et habebis pro lucro 21. De rotulis secundum regula ovorum. Verum, si proposuerit, quod pro denariis 1/7 1/2 4 rotulos 13/28 11 haberet, venderet rotulos2/9 1/5 17 pro denariis 7/10 7; et esset lucratus denarios 27: describe questionem secundum quod in hac pagina descriptam cerneris; et multiplica Rotulos 11 per 8 de sua virgula, et desuper adde 3, erunt 91; que per 2, et adde unum, erunt 183, que pone super13/28 11. Item multiplica denarios 4, per 2, et adde 1, erunt 9; que per 7 de altera sua virgula, erunt 63: super que adde multiplicationem de 1, quod est super 7 in 2, erunt65, que pone super 1/7 1/2 4. Rursus multiplica Rotulos 17 per 5, et super adde 1; que per 9, et adde multiplicationem de 2, que sunt super 9 in 5, erunt 784, que pone super 2/9 1/5 17. Iterum multiplica denarios 7 per 10, et adde 7, erunt 77, que pone super7/10 7: post hec multiplica numerum positum super 2/9 1/5 17, scilicet 784 per numerum po- situm super 1/7 1/2 4, idest per 95, erunt 50960, que pone super 784. Item multiplica positum numerum super 13/28 11, scilicet 183 per positum numerum super 7/10 7, idest per 77, erunt 14091, que pone super 183: postea oportet multiplicari 50960 per minuta, que sunt sub virgulis de 11, et de 7, scilicet per 2, et per 8, et per 10: et adhuc oportet multiplicari 14091 per minuta, que sunt sub virgulis de 17, de 4, scilicet per 5, et per9, et per 2, et per 7; unde multiplicentur tantum 5960 per 2, et per 8, idest per 16, erunt 815360; et relinquantur quod non multiplicentur per 10; quia relinquemus mul- tiplicare 14091 per 5, et per 2, in quibus ipsa multiplicare oportuerat; et multipli- cabitur tantum per 7, et per 9, idest per 63, erunt 877733; de quibus extrahe 815360, remanent 72373; quibus studeas reperire regulam, que est 1/7 0/7 0/7 0/211; in qua divide per multiplicationem de 815360 in 27, scilicet in lucrum; que multiplicatio est 22014720, exibunt denarii 0/7 0/7 6/7 2/2 8/11 3041; et tot investivit in illis Rotulis. Aliter divide 13/28 11 per 1/7 1/2 4, exibunt 1/4 0/10 6/13 2. Item divide 21/95 17 per 7/10 7, exibunt8/9 2/11 2; que extrahe de 1/4 0/10 6/13 2; et in hoc remanserit, divide multiplicationes de 8/9 2/11 2 in 27; et habebis propositum. De cane et vulpe. Item si queratur de vulpe, que est ante canem pasus 50, et pasus 9 fugientis vulpis, sunt passus 6 sequentis canis; queritur in quantum ea consequetur. Hec enim questio eandem retinet regulam ovorum: videlicet ut extrahas 6 de 9, remanent 3; in quibus divide multiplicationem de 6 in 50, exibunt passus 100; et in tot diebus canis fuit cum vulpe in uno puncto. Verum si distantiam eorum ignoraveris; et preponatur, quod canis vulpem adiungat in passibus 100; multiplicabis 3 per 100, et divides per predicta 6. De eo qui misit filium in Alexandriam. Quidam misit filium suum in alexandriam; deditque ei bizantios 100, precipiens, ut emeret ex eis piper, atque berzi. Cantare quidem piperis pro bizantiis 50, et cantare berzi pro bizantiis 30; et pondus quod ponderat piper esset 2/9 3/7 ponderis berzi. Queritur, quot emit de pipere, et quantum de berzi. Pone ut emeret de berzi cantaria 63; ideo quia in 63 reperiuntur 2/9 3/7; et vide quantum valent cantaria illa 63: valent enim bizantios1890: quo facto accipe 2/9 3/7 de 63, que sunt 41; et tot cantaria pone, quod emisset ex pipere, que valent bizantios 2050; cum quibus adde bizantios 1890, erunt bizantii 3940. Quare di- ces: pro cantariis 63, que posui ut emeret de berzi, veniunt in summa bizantii 3940; quid ponam ut veniat in summa bizantii 100: multiplica 63 per 100, et divide per 3940; quorum regula est 1/2 0/10 0/197: multiplicatio autem de cantariis 63 in 100 surgit in cantariis 6300, que sunt Rotuli 630000; quos divide per 1/2 0/10 0/197, exibunt Rotuli 177/197 159; et tot emit ipse de berzi. Item multiplica cantaria 41 per 100, erunt Rotuli 410000; quos divide per 1/2 0/10 0/197, exibunt Rotuli 0/2 0/10 12/197 104; et tantum emit de pipere. Si autem scire volueris, quot bizantios valeat piper, et quot berzi; multiplica 2050 per 100, et divide per 1/2 0/10 0/197, et habebis pro pretio piperis bizantios 6/197 52. Item multiplica 1890 per100 et divide per 100/210197, exibunt pro pretio berzi 191/197 47. Et si suprascriptus pater precepisset filio, ut 3/7 ex pondere piperis esset 2/9 ex pon- dere berzi; invenies primum duos numeros, ex quibus 3/7 unius sint 2/9 alterius, erunt 14 et 27. Nam 3/7 de 14 faciunt quantum 2/9 de 27: quare pones, ut ipse emeret de pipere cantaria 14, et de berzi cantaria 27; et operaberis secundum quod superius fecimus; et invenies quantitates utriusque mercis. Item 1/4 1/3 ex pondere piperis sit 1/5 1/4 ex pondere berzi, invenies quod duos numeros, ex quibus 1/4 1/3 unius sint 1/5 1/4 alterius, erunt 27, et 35. Nam 1/4 1/3 de 27 sunt 1/4 et 1/5 de35: quare pones, ut ipse emeret de pipere cantaria 27, de berzi cantaria 35; et opera- beris secundum suprascriptum modum. Rursus si proponatur, quod ipse emisset ex suprascriptis bizantiis 100 piper ad ra- tionem de bizantiis 50; et lac ad rationem de bizantiis 40; et de berzi ad rationem de bizantiis 30; et linum ad rationem de bizantiis 20. Et 2/3 ex pondere piperis esset4/5 ex pondere lacce. Et 6/7 ex pondere berzi, et 8/9 ex pondere lini. Inveniendi sunt primum quattuor numeri, ex quibus 2/3 primi numeri sint 4/5 secundi, et 6/7 tertii, et 8/9 quarti; et habebis pro primo numero 36; pro secundo 30; pro tertio 28; pro quarto27: quare pones, ut ipse emeret ex pipere cantaria 36, que valeret bizantios 1800. Et de lacca cantaria 30, que valent bizantios 1200; et de berzi cantaria 28, que valent bizantios 840; et de lino cantaria 27, que valent bizantios 540: quibus bizantiis quat- tuor mertium in unum coniunctis, faciunt bizantios 4380, que vellent esse bizantios 100: quare singulariter cantaria 36 piperis, scilicet Rotuli 3600. Et cantaria 30 lacca, scilicet Rotuli 3000. Et cantaria 28 berzi, scilicet Rotuli 2800; et cantaria 27 lini, scilicet Ro- tulos 2700 multiplicabis per bizantios 100, et divides summam uniuscuiusque multipli- cationis per regulam de 4380, que est 1/6 0/10 0/73; et habebis pro pondere piperis Rotulos14/73 82; et pro pondere lacce Rotulos 36/73 68; et pro pondere berzi Rotulos 467/673 63; et pro pondere lini Rotulos 47/73 61; et sic possemus huiusmodi varias proponere questiones, que solventur suprascripto ordine. De divisione de 10 in tribus partibus inequales secundum continuam proportionem. Si opponatur ut divides 10 in tres inequales partes, quarum multiplicata minorem in maiorem, faciat quantum secunda multiplicata in se ipsam; sic facies: pone ut prima pars sit aliquis, numerus, ut 1; deinde pone, ut secunda pars sit alius quislibet nu- merus, ut dicamus 2; que multiplica in se, faciunt 4; que divide per 1, venient 4. Modo habes tres numeros, scilicet 1, et 2, et 4; ex quibus multiplicatis primo per tertium, scilicet 1 per 4, facit tantum quantum secundus in se ipsum, scilicet 2 per 2. Unde colligas 1, et 2, et 4, faciunt 7; que cum vellent esse 10, dices: pro 1, quod pono pro prima illarum trium partium, pervenit 7 in earum summa: quid ponam pro eadem, ut perveniat in summam 10. Multiplicabis itaque 1 per 10; que divides per 7, exibit pro quantitate prime partis 3/7 1. Item multiplicabis eademque ratione secundam partem, scilicet 2 per 10, erunt 20: que divides iterum per 7, exibunt 6/7 2; et tantum est secunda pars. Rursum multiplicabis 4, que sunt tertia pars, per 10, erunt 40; que divides per 7, exibunt pro tertia parte 5/7 5. Multiplicatio igitur de 3/7 1 in 5/7 5, est quantum. Multiplicatio de 6/7 2 in se; et 3/7 1, et 6/7 2, et 5/7 5 insimul iunctis, faciunt 10, ut querebatur. Potest enim 10, secundum prescriptam conditionem, in infinitas tres et variis partes dividere: quare si alios in principio in continua proportione poneremus numeros preter quod 1, et 2, et 4 in alias partes 10, redderent divisa; quarum semper prima multiplicata in tertiam, faciet quantum secunda multiplicata in se. De eodem in IIIIor partes. Item si 10 in quattuor partes dividere volueris, ita quod multiplicata prima in quar- tam faciat quantum secunda in tertiam. Et rursum multiplicata prima in tertiam faciat quantum secunda in se ipsam. Et iterum multiplicata secunda in quartam faciat quan- tum tertia in se ipsam. Hanc enim divisionem in infinitas variasque partes possumus in- venire. Quare unam demonstrationem pro multis ostendamus: ponas ut prima pars sit unum. Secunda bis tantum, scilicet 2. Tertia bis tantum secunde, scilicet 4. Quarta bis tantum tertie, scilicet 8: Hii quattuor numeri sunt in continua proportione. Unde coa- dunatis his quatuor partibus, scilicet 1, et 2, et 4, et 8, faciunt 15, que vellent esse10. Unde dices: pro 1, quod pono prima parte, perveniunt 15 in summa eorum quattuor partium; quid ponam pro eadem parte, ut veniant in 10 in earum summa. Multiplicabis enim unum per 10, et divides per 15, exibunt 2/3 unius integri pro prima parte. Item multi- plicabis singulariter 2, et 4, et 8 per 10; et singulariter divides per 15, et habebis pro se- cunda parte 1/2 1; pro tertia 2/3 2, et pro quarta 1/3 5: vel habita prima parte, duplicabis eam, et habebis secundam; qua duplicata, habebis tertiam; qua duplicata, habebis quartam. Vel quia 10 sunt 2/3 de 15, accipe 2/3 prescriptorum quattuor numerorum, et habebis quesitas. De eodem in quinque. Rursum si 10 in plures partes quam quattuor, ut in 5, secundum continuam proportio- nalitatem, dividere volueris; hoc est, quod multiplicata prima in quinta, faciat quantum secunda in quartam, et quantum tertia in se ipsam. Et iterum prime in quartam faciat quantum secunda in tertiam. Et iterum prima in tertiam, quantum secunda in se ipsam. Et iterum secunda in quintam, quantum tertia in quartam. Et adhuc tertia in quintam, quantum quarta in se ipsam. Pones itaque secundum quod superius fecisti pro prima parte 1; pro secunda 2; pro tertia 4; pro quarta 8; pro quinta 16: adde ergo 1, et 2, et4, et 8, et 16, erunt 31; que cum velint esse 10. Multiplicabis1 per 10, et divides per31, exibunt 10/31 pro quantitate prime partis: deinde multiplicabis 2 per 10, et divides per31, exibunt 20/31 pro secunda parte; et sic facies de reliquis tribus partibus pro tertia 40/31, hoc est 9/31 1. Et pro quarta 80/31, hoc est 18/31 2; et pro quinta 160/31, hoc est 5/31 5; quibus insimul iunctis, faciunt 10, ut querebatur. De Leone et leopardo et urso. Quidam leo comedabat unam ovem in horis IIIIor; et leopardus in horis 5. Et ursus in horis 6: queritur, si inter eos ovis una eiecta fuerit, in quantis horis eam devoraverunt. Sic facies: pro quattuor horis, in quibus leo ovem comedit. Pone 1/4; et pro horis 5 leopardi pone 1/5; et pro horis 6 ursi, pone 1/6: et quia 1/6 1/5 1/4 reperiuntur in 60. Pone ut in horis 60 ipsi devorarent ovem illam. Considera itaque, quot oves leo comederet il illis horis 60: cum in quattuor oris unam devoret ovem, est manifestum, quod ipse devoraret oves 15 in illis 60 horis; et leopardus devoraret oves 12 per quintum de 60, que est 12. Similiter et ursus devoraret oves 10; cum 10 sint 1/6 de 60. Ergo in horis 60 comederent ipsi oves 15, et 12, et 10, hoc est 37. Quare dices: pro horis 60, quas pono, comedunt ipsi oves37. Quid ponam ut tantum comedent ovem unam. Multiplica itaque unum per 60, et di- vide 37, exibit hora 23/37 1. Et in tot ipsi ipsam ovem devoraverunt. De duabus formicis quarum una imittatur aliam. Formice 2 distabant in plano passibus 100; et tendebant ad unum locum: prima quarum ibat cotidie 1/3 passus, revertebat retro 1/4; alia ibat 1/5, et revertebatur 1/6: queritur, in quot diebus erunt coniuncte: pone dies 60, in quibus prima iret tertiis 60 unius passus, scilicet passibus 20; et reverteretur retro passibus 15, scilicet 1/4 de 60; et sic in diebus 60 iret plus de sua reversione passibus 5; et aliam eisdem diebus 60 iret 1/5 de60, scilicet 12; et reverteretur retro 1/6, scilicet passibus 10; et sic iret passibus 2 magis de sua reversione: quibus extractis de passibus 5, remanent passus 3; et tot appropin- quantur ipse in dies 60: que cum velint esse 100. Multiplicabis 1/3 de 60 per 100; et habebis dies 2000 pro eorum coniunctione. De duabus navibus se se invicem coniungentibus. Naves due distabant ad invicem per aliquod spatium; quod iter prima navis explebat in diebus 5; alia in diebus 7: queritur si ceperint iter in eadem hora, in quot diebus erunt coniuncte. Multiplica 5 per 7, erunt 35; et tot dies pone, in quibus prima navis faciet iter suum septies. Alia vero quinquies: quare adde 7 cum 5, erunt 12; et quia inter utramque navem debebant facere tantum semel illud iter. Multiplica 1 per 35, et divide per 12, exibunt 11/12 2; et in tot diebus erunt coniuncte: et si vis scire, in qua parte; divide 7, et 5 per 12, venient 7/12 totius itineris ex parte prime navis, et 5/12 ex parte secunde. Et si proponeretur primam navem ire septies ad locum alterius navis, et aliam redire quinquies in una die, divide semel 1 per 12, exibit hora una pro earum coniunctione; que coniunctio erit in parte predicta. De tina que habet quatuor foramina in fundo. Est tina, que habet quattuor foramina, per primum quorum evacuatur in die 1; per secundum in 2; per tertium in 3; per quartum in 4; queritur quot horis evacuabitur, si dicta quattuor foramina simul aperiantur: pone dies 12 pro ipsius evacuatione. In quibus per primum foramen tina evacuaretur duodecies; cum dies 12 sint duodecuplum unius diei: similiter in illis positis 12 diebus per secundum foramen evacuaretur tina septies; per tertium quater; per quartum ter; et sic in diebus 12 tina evacuaretur vigies quinquies; hoc est, quod in diebus 12 evacuantur tine 25: et queritur, in quot evacuabitur tina 1. Multiplica ergo extremos, scilicet 12 per 1, et divide per medium, exibunt 12/25 unius diei: de quibus si vis horas facere, Multiplica 12, que sunt super virgam, per horas unius diei, scilicet per 12, erunt 144; que divide per 25, exibunt hore 43/55 5 pro tine evacuatione. De eadem tina cum super ipsam sint canales IIIIor. Et si proponatur, quod super ipsa tina erunt canales 4 evacuantes aquam; per pri- mum quorum tina impleatur in horis 6; per secundum in 9; per tertium in 24; per quartum in 27; queritur si tina fuerit vacua, et per ipsas canales simul fluat aqua vicina, et foramina sint aperta; in quot horis implebitur tina: pone etiam, ut impleatur in dies 12, in quibus per ipsa foramina evacuantur tine 25: deinde fac horas ex ipsis diebus 12, erunt hore 144; quas divide per horas primi canalis, scilicet per 6, exibunt24; et tot tine implentur per primum canalem: quia quam multiplices sunt hore 144 ex horis 6, tam multiplices sunt tine 24 ex tina 1: quare eadem ratione divides horas 144 per horas reliquorum canalium, scilicet 9, et per 24, et per 27, exibunt tine 16, et 6, et1/3 5: quibus additis cum tinis 24 primi canalis tine 1/3 51; et tot tine implentur ab ipsis canalibus 4 in positis diebus 12: a quibus eiectis tinis 25, que evacuantur per fora- mina, remanent tine 1/3 26, que vellent esse tina 1. Quare multiplica horas 12 diei, sci- licet 144 per 1; et divide per secundum numerum, scilicet per 1/3 26, exibunt hore 37/79 5; et in tot implebitur tina illa. De bute que habet IIIIor foramina unum super aliud. Item buctis habens 4 foramina unum super aliud in quarto retenimento buctis con- stituta; ex quibus si aperiens primum foramen .1. superius , evacuatur quarta pars buctis in 1 die; qua evacuata, si aperieris secundum, evacuabitur buctis a primo usque ad secundum, scilicet alia quarta pars in duobus diebus. Rursum, evacuatis duabus quartis, si aperieris tertium, evacuatur de bucte alia quarta pars a secundo foramine usque ad se in tribus diebus. Iterum si aperieris quartum evacuatur de bucte alia quarta pars in diebus 4. Queritur si omnia quattuor foramina pariter aperta fuerint, in quantum tota buctis evacuabitur. Quia evacuato aliquo ipsorum nullum iuvamen aliis prebere posse preponitur. Necessarium est ut evacuationem uniuscuiusque fora- minis singulariter reperiamus. Primum quidem ponamus, quod buctis teneat bariles quot- libet, ut dicamus 48. Quarum quarta pars accepta, que est 12, habeatur pro tenimento uniuscuiusque foraminis: deinde accedamus ad evacuationem primi, id est superioris foraminis: ponamus, ut inter omnia 4 illa foramina evacuetur de bucte usque ad su- perius foramen in una die, scilicet in horis 12: deinde videamus quot bariles in illis12 horis per unumquodque foramen evacuarentur: per primum quidem evacuarentur bariles 12 in illis horis 12. Ideo quia preponitur in positione, quod per ipsum evacuatur quarta pars titius buctis in una die. Et quia per secundum alia quarta pars in duobus diebus evacuatur. Ergo in illis 12 horis evacuarentur per ipsum bariles 6: eademque rationem per tertium foramen evacuabitur bariles 4 in illis 12 horis. Et per quartum evacuarentur bariles 3. Iunctis itaque barilibus 12, et 6, et 4, et 3 faciunt 25; et tot bariles evacuarentur per ipsa quattuor foramina in illis 12 horis. Quare multiplica 12 per 12, faciunt 144; que divide per 25, exibunt hore 4/5 3/5 5; et in tot horis evacuabi- tur buctis usque ad superius foramen: deinde accedamus ad evacuationem secunde, quarte: et pone iterum, ut evacuetur ipsa similiter in aliis 12 horis. In quibus, ut prediximus, per secundum evacuantur bariles 6; per tertium quoque bariles 4; per quartum vero bariles 3. Quare per ipsa tria foramina evacuantur bariles 13; pro quibus multiplicabis 12 per 12, et divide per 13, exibunt hore 1/13 11 pro evacuatione eiusdem secunde partis: deinde pone, ut tertia quarta evacuetur iterum in horis 12, in quibus per tertium foramen evacuantur bariles 4; per quartum 3, hoc est per utrumque eva- cuantur bariles 7. Quare multiplica 12 iterum per 12, et divides per 7, exibunt hore4/7 20 pro evacuatione tertie quarte; per quartum vero foramen evacuatur reliqua quarta in quattuor diebus. Quare adde dies 4, et horas 4/5 3/5 5, et horas 1/13 11, nec non et horas4/7 20, erunt dies 7, et horas 4/5 0/5 2/7 5/13 1; et in tantum evacuabitur buctis illa. Aliter de bute. Et si dixeris, quod per unum quodque foramen tota buctis evacuetur usque ad se ipsam in prepositis diebus; pone similiter, ut buctis teneat bariles 48: deinde vide in quantum evacuabitur buctis usque ad primum foramen. Apertis videlicet omnibus fo- raminibus. Pone ergo ut evacuetur in horis 12, in quibus per primum evacuantur ba- riles 12: per secundum vero totidem evacuantur; cum in duobus diebus bariles 24 eva- cuentur in horis 12: per tertium quoque in positis horis 12 evacuarentur alios bariles 12; cum in tribus diebus per ipsam evacuarentur bariles 36: per quartum autem in illis12 horis alios bariles 12 evacuantur: quibus iunctis cum barilibus evacuationum trium reliquorum foraminum, erunt 48, que vellent esse 12. Ergo multiplica 12 per 12, et di- vide per 48, exibunt hore 3; et in tot evacuatur usque ad primum foramen. Item si posueris pro evacuatione secunde quarte alias horas 12, reperies quod per reliqua tria foramina evacuabuntur bariles 36: quare multiplicabis 12 per 12, et divides per 36, exibunt hore 4; et in tantum evacuabitur secunda quarta. Item si posueris horas 12 pro evacuatione tertii quarte, quod reperies utrumque foramen evacuarentur bariles 24. Quare multiplica 12 per 12, et divide per 24, exibunt hore 6 pro tertie quarte evacuatione. De quarto foramine nil dicendum est; cum manifestum sit, quod per ipsum in horis 12 evacuetur totum residuum, scilicet bariles 12. Quare addas horas evacuationum quattuor dictorum quartarum, scilicet 3, et 4, et 6, et 12, erunt hore 25; et in tantum evacua- bitur buctis illa. Aliter de bute. Et si proponatur, quod a summo buctis usque ad superius foramen sit 1/3 totius te- nimenti buctis: ab ipso foramine usque ad secundum, sit 1/4 eiusdem tenimenti. Et ab ipso usque ad tertium sit 1/5. Ab ipso usque ad inferius foramen sit residuum teni- menti buctis; et per superius foramen evacuetur buctis usque ad ipsum in 1 die. Per secundum ab ipso superiori usque ad ipsum secundum in 2. Per tertium a secundo usque ad ipsum tertium in 3. Per inferius evacuetur buctis a tertio usque ad ipsum in dies 4. Pone, ut buctis teneat bariles 60; quare usque ad superius foramen sunt ba- riles 20, scilicet tertium de 60. Et a secundo foramine usque ad superius sunt bariles15, scilicet quartam de 60. Et a tertio usque ad secundum sunt bariles 12, scilicet quintam de 20. Quibus barilibus 12 et 15, et 20 in unum coniunctis, reddunt bariles47 pro tenimento buctis usque ad tertium foramen: a quibus 47 usque in 60 sunt ba- riles 13 ab inferiori foramine usque ad tertium: deinde pone diem 1 in evacuatione buctis usque ad superius foramen, in quo posito die per primum foramen evacuantur bariles 20; per secundum 1/2 7, scilicet 1/2 de 15; per tertium 4, scilicet tertia de 12; per quartum 1/4 3, scilicet quartam de 13: ergo per quattuor foramina evacuantur in 1 die bariles 20, et 1/2 7, et 4, et 1/4 3, hoc est in summa bariles 3/4 34, que vellent esse 20, scilicet tenimentum superioris foraminis: quare multiplicabis diem 1 per bariles 20, et divides per 3/4 34, exibunt 80/139 unius diei pro evacuatione superius foraminis. Item pone unum diem in evacuatione barilium 15 secundi foraminis, in quo per secundum eva- cuantur, ut prediximus, bariles 1/2 7; per tertium 4; per inferius 1/4 3, hoc est in summa3/4 14, que vellent esse 15: quare multiplicabis 1 per 15, et divides per 3/4 14, exibit dies 1/59 1 pro evacuatione barilium 15. Rursum pone unum diem in evacuatione barilium12 tertii foraminis, in quo die per ipsum foramen evacuantur bariles 4; per inferius 1/4 3, hoc est per utrumque 1/4 7, qui vellent esse 12: quare multiplica 1 per 12, et divide per 1/4 7, exibit dies 19/29 1 pro evacuatione tertii foraminis. Per inferius vero foramen evacuatur residuum in dies 4, ut propositum est. Quare addes dies 4, et 19/29 1, et 1/59 1, et 80/139, et habebis dies 7, et horas 24/29 5/59 135/139 2 pro evacuatione totius buctis. Modus alius de bucte. Et si per unumquodque foramen usque ad ipsum, totam buctem evacuare propo- natur in prepositis diebus, pones similiter, ut buctis teneat bariles 60: quare per primum evacuantur bariles 20 in uno die. Per secundum 20 et 15, scilicet 35 in duobus diebus. Per tertium 20, et 15, et 12, scilicet 47 in diebus 3. Per inferius evacuantur bariles 60, scilicet tota buctis in diebus 4. Quare pones in evacuatione barilium 20 superioris fo- raminis diem 1. In quo per primum evacuantur bariles 20; per secundum 1/2 17, scilicet dimidium de 35; Per tertium 2/3 15, scilicet 1/3 de 47. Per inferius 15, scilicet quartam de 60; et sic sunt in summa bariles 1/6 68, qui vellent esse 20: quare multiplica 1 per 20, et divide per 1/6 68, exibunt 120/409 unius diei. Item pro evacuatione barilium 15 secundi fo- raminis pone diem 1, in quo per secundum evacuantur bariles 1/2 17; per tertium 2/3 15; per quartum 15, hoc est in summa bariles 1/6 48, qui vellent esse 15: quare multipli- cabis 1 per 15, et divide per 1/6 48, exibunt 90/289 unius diei. Rursum pro evacuatione ba- rilium 12 tertii foraminis pone 1 diem, in quo per ipsum evacuantur bariles 2/3 15; per ultimum 15, hoc est per utrumque 2/3 30, qui vellent esse 12: quare multiplica 1 per12, et divide per 2/3 30, exibunt 9/23 unius diei. Item pone in evacuatione bariles 13 inferioris foraminis diem 1, in quo evacuantur bariles 15, qui vellent esse 13: quare multiplica 1 per 13, et divide per 15, exibunt 13/15 unius diei; quibus iunctis cum 9/23, et cum 120/409, reddunt pro summa diem 1, et horas 1/5 13/17 16/17 12/23 144/409 10 pro evacuatione to- tius buctis. Item est buctis habens inferius foramina 10, que per primum evacuatur in 1 die; per secundum in 1/2 unius diei. Per tertium in 1/3, per quartum in 1/4, et sic deinceps per ordinem, usque quod per decimum foramen evacuatur buctis in 1/10 unius diei. Que- ritur: si foramina insimul aperta fuerint, in quanta diei parte buctis tota erit evacuata. Pone, ut buctis evacuetur in una die, in quo per primum foramen evacuatur buctis semel; per secundum bis, cum in dimidio diei evacuetur ipsa: quare per tertium eva- cuatur ter; per quartum quater; per quintum quinquies, hoc est buctes 5; per sextum evacuantur buctes 6; per septimum 7; per octavum 8; per nonum 9; per decimum 10: ergo in die 1 per omnia foramina evacuantur tot buctes, quot sunt in collectione nu- merorum, qui sunt ab 1 usque in 10, scilicet 55: quare dices: pro die 1, qui pono, evacuantur buctes 55; quid ponam, ut evacuetur buctis 1: multiplica 1 per 1, et di- vide per 55, exibit 1/55 unius diei pro evacuatione totius buctis. De quatuor hominibus navem locantibus. Quattuor homines naulegiaverunt navem ad honerandum de frumento; et unusquis- que eorum quartam honeravit: et primus erat daturus domino navis pro naulo 1/3 sui frumenti; secundus 1/4; tertius 1/5; Quartus 1/6; a quibus habuit dominus navis pro eorum naulo modia 1000: quare quantitas totius carici navis: pone ut caricum 4te partis totius navis, scilicet portio uniuscuiusque, sit modia 60; quare caricum totius navis erit modia 240. Et quia primus dedit 1/3 sui carici; et secundus 1/4; tertius 1/5; quartus 1/6, accipe 1/6 1/5 1/4 1/3 de 60, erunt modia 57, que vellent esse 1000. Quare dices: pro modiis240, que pono in carico totius navis, veniunt Nauclerio modia 57; quid ponam, ut ve- niant ei modia 1000: multiplica 240 per 1000, et divide per 57, exibunt modia 10/19 4210 pro carico totius navis. De eodem. Et si proponatur, quod dato naulo domino navis, remansisset ei modia 1000. Extrahes57 de 240, remanent ei modia 183, que vellent esse 1000: quare multiplica 240 per 1000, et divide per 183, exibunt modia 29/61 1311 pro carico totius navis. De homine retento in obsequio. Quidam retinuit quendam hominem in obsequium. Cui erat daturus in mense nu- meros tres, quorum secundus erat denariis 2 maior primo; et tertius denariis 2 maior secundo, hoc est denariis 4 maior primo. Et insuper erat ei daturus denarios 10. Con- tingit autem, quod ipse laboravit dies 6, pro quibus dominus operis dedit ei medietatem primi numeri. Et tertiam secundi. Et quartam tertii numeri; et fuit persolutus secundum quod ei contigit pro hoc, quod laboraverat. Queritur qui fuerunt numeri illi. Quia dies 6, in quibus laboravit, sunt quinta mensis; scilicet ex diebus 30 debuit ipse pro suo labore recipere 1/5 omnium trium numerorum dictorum; et de denariis 10, pro qua1/5 dedit eius dominus medietatem primi numeri. Et tertiam secundi. Et quartam tertii. Et manifestum est, quod si de secundo numero extrahantur 2, et de tertio 4, uterque eo- rum erunt equales primo numero. Unde extractis 2 de secundo, et 4 de tertio; si acceperimus medietatem primi, et tertiam secundi, et quartam tertii; ideo accepimus1/4 1/3 1/2 tantum de primo numero: ergo ut accipiamus 1/3 de denariis 2, in quibus se- cundus excedit primum; et 1/4 de 4, in quibus tertius excedit primum, erunt 2/3 1: ergo dedit ei dominus 1/4 1/3 1/2 primi numeri, et insuper denarium 2/3 1; et fuit tamquam si dedisset ei 1/5 omnium trium numerorum, et de 10: nam extractis iterum 2 de secundo numero, et 4 de tertio; et accepto 1/5 primi numeri, et secundi, et tertii; tantum est quantum si acceperimus tantum 3/5 de primi numeri: deinde remanet, ut accipiatur 1/5 de denariis 2 prescriptis, qui extracti fuerunt de secundo numero; et de 4, qui extracti fuerunt de tertio; et de 10, hoc est de 16, erunt 1/5 3: ergo operarius erat recepturus3/5 primi numeri, et insuper denarios 1/5 3; pro quibus recepit 1/4 1/3 1/2 eiusdem primi nu- meri, et insuper denarium 2/3 1: quare extrahas 2/3 1 de 1/5 3, remanent 8/15 1: ergo 1/4 1/3 1/2 ipsius numeri primi sunt plus 8/15 1 de 3/5 eiusdem numeri. Unde inveniendum est nu- merus, cuius 3/5 extractis de 1/4 1/3 1/2 eiusdem numeri, remaneat 8/15 1. Pone, ut numerus ille sit 60, cuius 3/5 acceptis, que sunt 36; et extractis de 1/4 1/3 1/2 de 60, scilicet de 65, re- manent 29, que vellent esse 8/15 1: multiplicabis itaque 60 per 8/15 1, erunt 92; que di- vide per 29, exibunt 5/29 3 pro quantitate primi numeri: quibus additis 2, habebis 5/29 5 pro secundo numero; quibus iterum additis 2, habebis 5/29 7 pro tertio numero. De numero cui super additur 1/4 1/3 et 12, et a quo extrahitur 1/6 2/5 et 12, et nil remanet. Est numerus, super quem si addideris 1/4 1/3 et 12; et de collecta quantitate abstuleris1/6 2/5 et 12, nichil remanebit. Queritur quid sit numerus ille: primum querendum est, quis sit numerus, de quo si extraxeris 1/6 2/5 et 12, nichil remaneat. Pro quo pone 30, de quibus extrahe 1/6 2/5, scilicet 17, remanent 13. Que cum velint esse 12; Multiplica 12 per 30, erunt 360; que divide per 13, exibunt 9/13 27: pro quibus iterum dices: est nu- merus, super quem si addideris 1/4 1/3 et 12, facient 9/13 27: quare extrahe 12 de 9/13 27, re- manebunt 9/13 15: deinde pone, ut ipse numerus sit 12, super quem adde 1/4 1/3 ipsius, erunt 19; que cum vellent esse 9/13 15, Multiplicabis itaque 12 per 9/13 15, et divides per19, exibunt 4/13 17/19 9; et tot erit numerus ille. Verbi gratia: Accipe 1/4 1/3 de 4/13 17/19 9; quas sic accipere eas demonstramus: videlicet ut multiplices 9 per 19, et adde 17; que per 13, et adde 4, erunt 2448; super que adde 1/4 1/3 ipsorum, que sunt 1428, erunt 3876; que divide per 1/19 0/13. Et ideo primus per 19, quam per 13; quia 3876 integraliter di- vidantur per 19, exibunt 9/13 15; super que adde 12, erunt 9/13 27; de quibus extrahe1/6 2/5, que sunt 9/13 15, remanent 12; que non abieceris, nichil remanebit, ut prepositum est. De numero cui super additur 1/9 3/7 et 60. Item est numerus, super quem si addideris 1/9 3/7, et denarios 60; et de collecta summa extraxeris 1/8 1/5 1/3, et denarios 60, nichil remanebit: invenies numerum, de quo extracta1/8 1/5 1/3, remaneant 60: erit numerus ille 25/41 175; de quibus extrahe 60, remanent 25/41 115; pro quibus inveniendus est numerus, super quem si addatur 1/9 3/7, faciant 25/41 115, quem sic invenies. Pone igitur, ut ipse sit 63; de quibus accipe 3/7, que sunt 27. Et 1/9, que est7, erunt 34; que adde cum 63, erunt 97, que vellent esse 25/41 115. Unde multiplicanda sunt 63 per 25/41 115, et dividenda per 97, exibunt 17/41 8/97 75 pro quesiti numeri quantitate. Item alia cum similis. Item est numerus, super quem si addideris 4/9 3/7 2/5 ipsius numeri, et insuper alios duos numeros equales quoscumque volueris, et 1/5 1/3 unius ipsorum numerorum; et de collecta quantitate extraxeris 3/11 2/9 2/7, et tres numeros tales, quales fuerint ipsi duo, quos primum iunxeris, et 1/9 1/5 unius ipsorum numerorum, nichil remanebit: primum qui- dem inveniendi sunt, qui sunt numeri illi, qui debent addi in principio, et extrahi in fine; quos sic invenies: videbis quis sit numerus, in quo reperiantur 1/5 1/3, et 1/9 1/5: qui numerus est 45; et tot pone pro numero illo. Et quia proponitur in finem, quod extra- ctis tribus numeris illis, et 1/9 1/5 unius illorum, multiplicabis 45 per 3, erunt 135; super que adde 1/9 1/5 de 45, scilicet 14, erunt 149: deinde invenias per regulam secundi arboris, quis sit numerus, de quo extractis 3/11 2/9 2/7, remanent 149: que si secundum considera- tionem ipsius arboris regulam invenire sciveris, ipsum esse 16/819 679 invenies: de quibus extrahe duplum de 45, et insuper 1/5 1/3 de 45, hoc est 114, remanebunt 16/819 565: pro quibus vide per regulam tertie arboris, qualis est numerus, super quem si addideris 4/9 3/7 2/5; et fiant 16/819 165; eritque numerus ille 3/4 4/8 2/19 27/179 248: et sic omnes regulas huiusmodi operaberis. Questio proposita a quodam constantinopolitano magistro 1/9 1/3. Summe 1/9 1/3 unius numeri, et inde extrahe 1/9 1/3; et quod remanet divide in duas tales partes, ut multiplices unam partem per 1/7 1/2, et aliam per 4/9 1/2, et fiant equales. Sic facies: pone numerum talem, quod de 1/9 1/3 ipsius possis 1/9 1/3 integraliter extrahere; eritque numerus ille 81: de quo accipe 1/9 1/3, scilicet 36; et extrahe inde 1/9 1/3, scilicet 16, rema- nebunt 20; que oportet dividere in duas tales partes, quod multiplicata una illarum per 4/9 1/2, faciat tantum, quantum multiplicata alia per 1/7 1/2. Quare ut in hac positione regulam arborum immitetur, pone quod una partium sit 18; que multiplica per 4/9 1/2, faciunt 17: deinde videas per regulam primi arboris qualis est numerus, de quo 17 sit1/7 1/2; eritque numerus ille 4/9 26; que adde cum 18, erunt 4/9 44, qui numerus vellet esse20. Multiplicabis igitur 18 per 20, et divides per 4/9 44, exibunt 1/10 8 pro quantitate unius partis; a quibus usque in 20 desunt 9/10 11, que sunt alia pars. De cuppa cuius fundus est tertia pars totius cuppe Cupercruum est quarta. Quendam cuppa est, de qua fundus ponderat tertiam totius cuppe; cuperclium vero ponderat quartum; residuum vero ponderat libras 15: queritur pondus totius cuppe: que positio similis est arboris, de quo 1/4 1/3 latet sub terra; et super terram est palmi15. Verbi gratia: cum fundus cuppe sit 1/3; et cuperclium sit 1/4 totius cuppe. Ergo inter fundum, et cuperclium sunt 1/4 1/3 totius cuppe. Et hoc quod remanet ponderat libre 15. Quare cum de quantitate totius cuppe queratur; ponendum est, secundum eiusdem arboris regulam, ut ipsa ponderat aliquem numerum talem, videlicet ut in ipso repe- riantur minuta positionis, scilicet 1/4 1/3; qui numerus erit 12. Quare pone, ut cuppa ponderat libre 12; qua ratione, fundus cum sit tertiam, cuppa ponderat libre 4; et cuperclium, cum sit 1/4, ponderat libre 3. Ergo inter fundum, et cuperclium ponderat libre 7: a quibus usque in 12 de sunt libre 5 pro quantitate residui cuppe, que vellent esse libre 15: que cum non sint. Multiplicabis 12 per 15, et divides per 5; et sic perveniunt 36 pro pondere totius cuppe. Aliter de cuppa. Nam si dixeris, quod fundus ponderet 1/3 tantum medii et cuperclii. Et coperclium ponderet quantum medii, et fundi; medium vero ponderet 15: quam positionem, si ad re- gulam eiusdem arboris redigere volueris, sic facies: cum fundus ponderet 1/3 medii, et co- perclii. Et si inter coperclium, et medium ponderat 3, fundus ponderat 1; ergo fundus est 1/4 totius cuppe. Eademque ratione cum coperclium est 1/4 medii, et fundi; si inter me- dium, et fundum ponderant 4, coperclium ponderat 1: ergo coperclium est 1/5 totius cuppe; et ita inter fundum et coperclium sunt 1/5 1/4 totius cuppe: quare inveniendus est numerus, de quo reperiatur 1/5 1/4, eritque 20, qui exiit ex multiplicatione de 4 in5: de quibus extrahes 1/5 1/4, scilicet 9, remanent 11. Quare multiplica 20 per 15, erunt 300; que divide per 11, exibunt 3/11 27 pro pondere totius cuppe. Verum si unamquamque ipsarum partium reperire volueris, cum fundus sit 1/4 totus cuppe, sume1/4 de 20, quod est 5; que multiplica per 15, erunt 75; que divide per 11, exibunt pro pondere fundi libre 9/11 6. Item cum coperclium sit 1/5 totius cuppe. Accipe 1/5 de 20, que est 4; que multiplica per 15, erunt 60; que divide per 11, exibunt pro pondere coperclii libre 5/11 5. Item de cuppa. Item est cuppa, cuius fundus est 1/4 1/3 cuperclii, et medii. Coperclium vero est 1/6 1/5 medii et fundi. Medianus cuppe ponderat libre 6. Queritur pondus fundi, et coperclii; quia fundus est 1/4 1/3 residui: ergo si residuum ponderat libre 12, et fundus ponderat libre 7; ergo tota cuppa ponderet libre 19: quare fundus ponderat 7/19 totius cuppe; propter eandem rationem coperclium cum sit residui 1/6 1/5, erit 11/41 totius cuppe. Unde describe in ordinem 11/41 7/19; et multiplicabis 7, que sunt super 19, per 41, erunt 287. Item multiplicabis 11, que sunt super 41, per 19, erunt 209; que adde cum 287, erunt496: et multiplicabis 19 per 41, erunt 779; de quibus extrahe 496, remanent 283: mul- tiplica 779 per 6, erunt 4674; que divide per 283, exibunt 146/283 16 pro quantitate pon- deris totius cuppe: et si multiplicaveris 287 per 6, et diviseris per 283, reperies 24/283 6 pro quantitate fundi. Iterum si multiplicaveris 209 per 6, et diviseris per 283, reperies libras 123/283 4 pro pondere coperclii. De IIIIor hominibus denarios habentibus. Quattuor homines habent denarios. Denarii autem primi erant 1/4 1/3 denariorum alio- rum trium: denarii autem secundi erant 1/6 1/5 aliorum trium: tertii autem erant 1/8 1/7 alio- rum trium. Denarii autem quarti erant 27. Queritur quot denarios unusquisque reli- quorum habebat: hec questio eandem retinent regulam cuppe sic: quod cum denarii primi hominis sint 1/4 1/3 denariorum reliquorum trium hominum; ergo habet ipse 7/19 to- tius summe eorum quattuor. Propter eadem et secundus habet 11/41 eiusdem summe. Et cum tertius habeat 1/8 1/7 reliquorum: ergo si ipsi tres habent denarios 56, et ipse habet 1/8 1/7 illorum, hoc est 15; ergo inter omnes habent denarios 71; de quibus ipse habet 15/71: ergo assimilatur hec questio arboris, vel numero; de quo, extractis 15/71 11/41 7/19, remanent 27: quod sic facias: multiplica 7, que sunt super 19, per 41; que per 71, erunt 20377, que pone super 7/19. Iterum multiplica 11, que sunt super 41, per 71; que per 19, erunt 14839, que pone super 11/40. Rursus multiplica 15, que sunt super 71, per41; que per 19, erunt 11685, que pone super 15/71: adde itaque 20377 cum 14839, et cum11685, erunt 46901; que extrahe ex multiplicatione de 19 in 41, et in 71, scilicet de55309, remanebunt 8408; quibus reperies regulam que est 1/8 0/1051. Et multiplica 20377 per27, erunt 550179; que divide per 1/8 0/1051. Et multiplica 20377 per 27, erunt 550179; que di- vide per 1/8 0/1051, exibunt denarii 3/8 4/10 57/51 65; et tot habuit primus homo. Item multiplica14839 per 27, erunt 400653; que divide per 1/8 0/1521, exibunt denarii 5/8 684/1051 47; et tot habuit secundus. Item multiplica 11685 per 27, erunt 315495; que divide per 1/8 0/1051, exibunt de- narii 7/8 6/10 49/51 37; et tot habuit tertius. Questio nobis proposita a peritissimo magistro musco constantinopolitano in constantinopoli. Item quinque homines bizantios habentes navem emere voluerunt; quorum primus petit 1/5 2/3 reliquis IIIIor ipsorum bizantiorum. Secundus petit 1/480 1/6 2/3; tercius petit re- liquis 1/638 1/6 2/3; quartus petit 1/420 1/7 2/3. Quintus petit reliquis 1/810 1/27 1/10 2/3. Quam questionem ita ad suprascriptam regulam reducere studui. Quia primus petijt 1/5 2/3 , ipsas duas vir- gulas in unam virgulam reduxi sic quod vidi de 1/5 2/3, in quo numero reperirentur, vi- delicet in 15; et accepi de 2/3 de 15, que sunt 10, et 1/5 de 15, que est 3; et iunxi in- simul, et fuerunt 13/15. Item eademque ratione de 1/480 1/6 2/3, que petijt secundus, feci aliam vergulam, que est 401/480. Iterum de 1/638 1/6 2/3 feci aliam virgulam, scilicet in 341/420. Adhuc redigi minuta petitionis quinti hominis, scilicet 1/810 1/27 1/10 2/3 in aliam virgulam, scilicet in 326/405, et posui per ordinem 326/405 341/420 799/957 401/480 13/15; et habui eos pro prima positione. Deinde extraxi13 de 15, remanserunt 2; super que posui 13 cum virgula sic : 13/2, quamvis non sit maior numerus super virgulam ponendus. Item extraxi 401 de 480, remanent 79; super que posui 401 cum virgula sic: 401/79. Item extraxi 799 de 957, remanserunt 158; super quem posui 799 cum virgula 779/158. Rursus minui 341 de 420, remanserunt 79; super que posui 341 sic: 341/79. Adhuc extraxi 326 de 405, remanserunt 79; super que posui 326 sic 326/79. Postea posui ex parte sub prima positione 326/79 341/79 779/158 401/79 13/2. Et habui eas pro secunda positione, ut hic ostenditur. Deinde inveni 158, in quibus reperiuntur omnes rupti secunde positionis; et multiplicavi ipsa 158 per 13 prime positionis, et divisi per 2, que sunt sub prima virgula secunde positionis, exierunt 1185: adhuc multiplicavi 158 per 480, et divisi per 79, hoc est duplicavi 480, et habui 960. Item multiplicavi prescripta 158 per 957 prime, et divisi per 158, exierunt inde 957. Rursus multiplicavi eadem 158 per 420, et divisi per 79, que sunt sub 341, exierunt 840. Et adhuc multiplicavi 158 per 405 prime positionis, et divisi per 79 que sunt sub 326 secunde, exierunt 810: cum quibus iunxi 1185, et 960, et 957, et 840 modo inventis, fuerunt 4752; que cum debui habere pro summa cunctorum bizantiorum illorum quinque hominum, et multiplicare 158 per numerum hominum, uno inde extracto, scilicet per4, reliqui quod non multiplicavi 158 per 4, sed servavi ea pro residuo, quod remanet semper IIIIor hominibus. Post emptionem navis, ideo quia bizantij 4752 integraliter per prescripta 4 dividi possunt. Unde divisi 4752 per 4, exierunt bizantij 1188, quos habuimus pro summa illorum quinque hominum; ex quibus extraxi servatuum residuum, scilicet 158, remanserunt pro pretio navis bizantij 1030: deinde ut haberem bizantios primi hominis, accepi 13/2 de 158, hoc est quod multiplicavi 158 per 13, et divisi per2, exierunt 1027; que extraxi de pretio navis, scilicet de 1030, remanserunt bizantij3; et tot habuit primus. Deinde ut haberem bizantios secundi, multiplicavi 158 per401, que sunt super 79, et divisi per ipsum 79; et hoc est quod accepi 401/79 de 158, que sunt 802, que extraxi de 1030, remanserunt bizantij 228; et tot habuit secundus. Item ut haberem bizantios tercij hominis, accepi 799/158 de 158, videlicet de prescripto residuo, fuerunt itaque 799; que extraxi de 1030, remanserunt bizantij 231; et tot habuit tercius. Iterum accepi 341/79 de 158 sic quod divisi 158 per 79, exierunt 2; que multiplicavi per 341, et habui 682; que extraxi de 1030 predictis, remanserunt 348; et tot habuit quartus. Similiter accepi 326/79, scilicet quintam virgulam secunde positionis de 158, et fuerunt 652; que extraxi de 1030, remanserunt 378; et tot habuit quintus.

[Esempi di calcolo degli interessi.] De duobus hominibus, qui habuerunt societatem in constantinopoli. Duo homines pariter in constantinopolim habuerunt insimul societatem; quorum unus perrexit alexandriam negotiandi causa, et tulit secum de comuni hentica quantum libuit; stetitque ibi annis 5, et diebus 70, et lucrabatur quintam sui capitalis in uno quoque anno, et inde expendebat per annum bizantios 25. Alius qui remanserat constantino- polim lucrabatur in uno quoque anno septimam sui capitalis; et inde expendebat bizan- tios 37. In fine autem dictorum 5 annorum, et 70 dierum, cum socijs eius fuisset reversus, nil ei remansit; et socius eius lucratus fuit in suprascripto termino quantum a principio socio suo remanserat. Queritur, quantum unusquisque habuit de eorum hentica comuni. In hac questione due viagiorum regule, vel domus competenter possunt intelligi: prima quidem de ipso, qui constantinopolim remanserat, cum in unoquoque anno septimum sui capitalis lucraretur, talis est ac si diceretur, quod de 7 faciebat8; pro 5 enim annis, et diebus 70, viagij 5, et 70/360 unius viagij intelligitur. Et expen- dium unius cuiusque anni, quod faciebat, scilicet bizantij 37, est tantum, quantum si diceres, quod in uno quoque viagio ipsos expenderet; vel quod in uno quoque anno ex- computabat ipsos pro pensione domus: et cum ei nil remansisse proponatur, inci- piendum est, secundum regulam domus, ab illis 70 diebus, videlicet ut invenias de quanto capitali potuit facere expendium, quod in illis 70 diebus fecerat; quod sic invenire per regulam domus docuimus: scilicet quia cum in anno de 7 facit 8; ergo in diebus 70 de 7 facit 7/30 7 unius bizantij, cum ipsi 70 dies sint 7/36 unius anni: ergo de 252 facit 259, hoc est quod de 36 facit 37. Quare describendi sunt 36/37; deinde videas quantum expendium accidit illis diebus 70. Multiplica enim expendium anni, scilicet37 per dies 70; et divide per 360, exibunt bizanti 3/4 1/9 7; et tantum est expendium 70 dierum; quod multiplica per 36, que sunt super 37; et divide per ipsa 37, exibunt bizanti 7; et tantum habuit ipse post moram quinque annorum. Deinde ex anno in annum usque quod ad caput primi anni devenies, sicuti in domus regula fecimus, stu- deas operari; videlicet ut cum repertis modo septem bizanthijs addas expendium quinti anni, scilicet 37, erunt 44; que multiplica per 7, et divide per 8; ideo quia de 7 facit8, exibunt 1/2 38; et tantum remanserat ei, cum iam IIIIor transierant anni: super quos adde expendium quarti anni, scilicet 37, erunt bizantij 1/2 75; que multiplica per 7, et divide per 8, exibunt bizantij 10/28 66; et tantum remansit ei post triennium: cum quibus adde expendium tercij anni, videlicet 37, erunt 10/28 103; que multiplica per 7, et divide per 8, exibunt bizantij 1/2 3/8 1/8 90; et tantum remansit ei post biennium: cum quibus additis bizantijs 37, quos expenderat in secundo anno, erunt 1/2 3/8 1/8 125; que multiplica per 7, et divide per 8, exibunt bizantij 1/2 0/8 2/8 2/8 111; et hoc est quod remanserat ei post expendium primi: cum quibus additis bizantijs 37, scilicet ipsius anni expendium, erant bizantij 1/2 0/8 2/8 2/8 148; quos multiplica per 7, et divide per 8; que multiplicatio sic fit: protrahes virgam, sub qua sint 2, et 8, et 8, et 8, sicuti sunt sub virga numeri, quem multiplicare vis per 7; sub qua etiam ex parte dextra pones8, scilicet divisorem, et multiplicabis 7 per 1, quod est super 2, et erunt 7; que di- vides per eadem 2, exibunt 3, et remanet 1: pone remanens 1 super 2, et 3 serva in manu; et multiplica 7 per 0, quod est super 8, veniet 0, quod adde cum 3 ser- vatis, erunt 3; que divides per 8, qui inter divisores octonarios est primus divisor, exibit 0, et remanent 3: pone 3 super ipsa 8, et multiplica 7 per 2, que sunt super secundum octonarium, erunt 14; quibus divisis per eadem 8, exijt 1, et remanent 6: pone 6 super 8, qui inter divisores octonarios est secundus, et reserva 1; et multi- plica 7 per 2, que sunt super 8 in ultimo virge, erunt 14; cum quibus adde unum servatum, erunt 15; que divide per penultima 8 virge servate, exibit 1, et remanent7: pone 7 super ipsa 8, et serva 1; quod adde multiplicationi de 7 in 148, erunt 1037; que divide per 8, que sunt ultima sub virga protracta, exibunt bizantij 1/2 3/8 6/8 7/8 5/8 129; et tantum habuit de comuni hentica ipse, qui constantinopolim remanserat. Deinde ac- cedendum est ad eum, qui alexandriam perrexerat; quod secundum viagiorum vel do- mus regulam oportet operari, scilicet per eam, in qua preponitur de ipso, qui tenuerat domum annis 5, et diebus 70; et super ipsius capitale lucratus fuit in finem bizantios1/2 3/8 6/8 7/8 5/8 129, videlicet eos, qui remanserunt ei, qui constantinopolim permanserat: que sic superius esse operanda demonstravimus, videlicet ut primum inveniatur de quantis bizanthijs potest tantum proficuum habere, unde possit de proficuo facere expendium; et ipsi in finem non comminuantur; qui sic invenientur. Accipe bizantios 25, qui sunt expendium, et multiplica eos per 5. Ideo quia lucrabatur 1/5 sui capitalis, erunt 125; de quorum lucro potes facere expendium; et in fine non comminuentur. Deinde quia de 5 facit 6, scribende sunt 5/6 quinquies propter annos 5 sic: 5/6 5/6 5/6 5/6 5/6. Rursum quoniam in uno quoque anno de 5 facit 6; ergo in diebus 70 de 5 facit 7/36 5, hoc est, quod de 180 facit 187: quare ponenda sunt 180 super 187, et describenda in ordine cum alijs 5/6 sic: 180/187 5/6 5/6 5/6 5/6 5/6: deinde multiplica omnes numeros, qui sunt super virgulis, erunt 562500, que habeantur loco capitalis; que extrahe ex multiplicatione numerorum, qui sunt sub virgulis, que est 1454112, que habentur loco capitalis, et lucri, remanent897612 pro lucro: in quorum regula divide multiplicationem de 5625 in 1/2 3/8 6/8 7/8 5/8 129, sci- licet in capitale ipsius, qui constantinopolim remanserat, exibunt bizanti 171402169/2888824767 81, qui sunt bizantij; cum quibus ipse absque expendio lucratus fuerit bizantios, qui re- manserunt, qui constantinopolim remanserat: cum quibus adde 125, cum quibus totum expendium lucrabatur, erunt bizantij 1714021169/2888824767 206; et tantum portavit de co- muni hentica ipse, qui in alexandriam perrexerat.