« Queste sono alcune Proposizioni attenenti al centro di gravità de i solidi, le quali in sua gioventù andò ritrovando il nostro Accademico, parendogli che quello che in tal materia haveva scritto Federigo Comandino non mancasse di qualche imperfezzione. Credette dunque con queste Proposizioni, che qui vedete scritte, poter supplire a quello che si desiderava nel libro del Comandino ; & applicossi a questa contemplazione ad instanza dell’Illustrissimo Sig. marchese Guid’Ubaldo dal Monte grandissimo matematico de’ suoi tempi, come le sue opere publicate ne mostrano; & a quel Sig. ne dette copia, con pensiero di andar seguitando cotal materia anco ne gli altri solidi non tocchi dal Comandino. Ma incontratosi dopo alcun tempo nel libro del Sig. Luca Valerio, massimo geometra, e veduto come egli risolve tutta questa materia senza niente lasciar in dietro, non seguitò più avanti, ben che le aggressioni sue siano per strade molto diverse da quelle del Sig. Valerio.»
Ai teoremi che seguono, nessuna introduzione migliore di queste parole che Galileo mette in bocca al Salviati in sulla fine del Dialogo Quarto delle «Nuove Scienze»,[1] e che precedono la « Appendix, in qua continentur Theoremata, » eorumque demonstrationes, quae ab eodem Autore circa centrum gravitatis » solidorum olim conscripta fuerunt ». Né altro avremmo voluto aggiungere dal canto nostro, se per più rispetti non ci fosse sembrato opportuno di suffragare con prove l’asserto di Galileo, e di determinare un po’ meglio il posto che a questi teoremi deve essere assegnato tra le Opere di lui, giustificando in pari tempo il luogo che, seguendo l’ordine cronologico, ad essi qui diamo.
Afferma per verità il Viviani che s’applicò Galileo « alla contemplazione del centro di gravità de’ solidi, per supplire a quel che ne aveva già scritto il Comandino ; e di ventiquattro anni di sua età inventò quello che in tal materia si vede scritto nell’ Appendice impressa alla fine de’ suoi Dialoghi delle due nuove scienze»;[2] secondo la quale asserzione, dovrebbero tali studi assegnarsi all’anno 1588. Ma questa data viene contraddetta da altre circostanze, principalissima fra tutte la dichiarazione fatta da Galileo stesso nella lettera ad Elia Diodati, del 6 dicembre 1636, nella quale scrive : « Manderò quanto prima una appendice d’ alcune dimostrazioni di certe conclusioni de centro gravitatis solidorum, trovate da me essendo d’ età di 21 anno e di 2 di studio di geometria ».[3]
Notando, per incidenza, che rimane per tal modo confermato quanto narra il Viviani stesso, vale a dire che Galileo sarebbe stato introdotto nello studio della geometria quando «già aveva compiti i diciannove anni »,[4] ci pare di non poter rifiutar fede all’affermazione così esplicita del nostro Autore, e di dover quindi assegnare questi suoi studi all’anno 1585, per quanto in tal modo venga ad alterarsi quell'ordine cronologico dei lavori galileiani, il quale finora era stato universalmente accettato per vero.
Oltre che al marchese Guidobaldo Del Monte, come afferma Galileo, aveva egli ancora, ed anzi prima che ad esso, data comunicazione di questi teoremi al P. Cristoforo Clavio, al quale ne lasciò altresì una parte in occasione del primo viaggio da lui compiuto a Roma nella seconda metà dell’anno 1587. Questa circostanza, ed il carteggio da Galileo tenuto intorno a cosiffatti argomenti, oltre che con i due sunnominati, anche con Michele Coignet di Anversa nei primi mesi del successivo anno 1588, determinano con tutta la esattezza desiderabile il tempo al quale questi studi devono farsi risalire, e che rimane confermato da altro documento del quale diremo fra poco.
Di questi teoremi, alcuni dei quali ebbero adunque una certa diffusione, manca l’autografo; e dei parecchi esemplari, che n’andarono attorno manoscritti, giunse sino a noi soltanto uno, conservatoci, tra le carte di Giovanni Vincenzio Pinelli, nel cod. miscellaneo A. 71 Inf. della Biblioteca Ambrosiana, intitolato « Pinelli Collectanea ». Questo esemplare contiene soltanto l’ultimo dei teoremi col lemma ad esso relativo, e in capo ad essi l'attribuzione «Vinc.° Galilei » ; nell’ indice, però, premesso al codice, e in cui la erronea attribuzione era ripetuta, già una mano del tempo corresse «Galilei de Galileis » in luogo di « Vincentii de Galileis». — Dopo il teorema sono trascritte le seguenti attestazioni :
« Fassi fede per me Giovanni Bardi de’ Conti di Vernio, come le presenti conclusioni e dimostrationi sono state ritrovate da M. Galileo Galilei ; e in fede ò fatto la presente questo dì dodici di Decembre 1587, manu propria.
Io Gio. Batta Strozzi affermo il medesimo ; e in fede mi sono sottoscritto di mia mano.
Io Luigi di Piero Alamanni affermo il medesimo; et in fede ho soscritto di mia propria mano questo dì 12 Decembre 1587.
Io Gio. Batta da Ricasoli Baroni confermando il medesimo mi sottoscrivo di man propria il dì 12 detto 1587.
Adì 29 di Decembre del 1587.
Io Gioseppe Moleto, Lettor publico delle Mathematiche nello Studio di Padova, dico haver letto i presenti Lemma et Theorema, i quali mi son parsi buoni, e stimo l’autor d’essi esser buono et esercitato Geometra.
Il medesimo Gioseppe ha scritto di man propria.
Questi documenti, e l’ essere la copia Ambrosiana tra le carte del Pinelli, mancato a’ vivi nel 1601, ci tolgono ogni dubbio ch’ essa non rappresenti la forma primitiva di tali studi giovanili del Nostro. Pur troppo però essa contiene soltanto, come si disse, l’ ultima parte dell’opera ; così che per il rimanente fummo costretti ad attenerci unicamente alla edizione dei Dialoghi delle «Nuove Scienze», nei quali per la prima volta Galileo dava alla luce nel 1638 questi teoremi, sebbene, come è assai verosimile, egli dovesse allora ritoccarne alquanto il primo getto, che risaliva a cinquanta e più anni addietro. L’edizione Leidense volemmo però riprodotta fedelmente, anche in certe incostanze della grafia, salvo bensì il correggere gli errori di stampa, i quali notammo a piè di pagina. Né tenemmo conto delle correzioni ed aggiunte con cui, di mano di Vincenzio Viviani, è postillato un esemplare di tale edizione che fa parte della Collezione Galileiana nella Biblioteca Nazionale di Firenze (Par. V, T. IX) ; poiché queste non possono rappresentare che ulteriori modificazioni, suggerite dall’Autore negli ultimi anni della sua vita ; e profittandone noi ci saremmo anche di più allontanati da quella forma primitiva del 1585, la quale sarebbe stato nostro desiderio poter qui riprodurre.
Facendo, invece, tesoro del testo Ambrosiano, ci parve opportuno presentarlo al lettore in maniera che agevolmente potesse farsi il confronto col testo posteriore, dandogli luogo, nella medesima pagina, sotto a questo, ormai dovuto seguire per tutto quanto precede.
Nei Manoscritti Galileiani della Biblioteca Nazionale di Firenze, ad una copia dell’esemplare Ambrosiano, fatta da G. B. Venturi, è allegata una lettera senza firma né data (P. V. T. II, car. 6), che, conforme si legge, di mano di Galileo, sul tergo del foglio, contiene un « Giudizio sopra una mia Prop.ne fatto in Bologna, la quale proposizione è appunto quella del surriferito esemplare. Anche questo documento[5] stimiamo di dover qui appresso pubblicare:
« Molto Ill.re Sig.re
Il mio amico loda infinitamente lo inventore di questa speculatione, et insieme col sigr. Meleto lo judica molto versato nelle matematiche. Et solo per mostrar ch’ egli l'habbia veduta, quanto al Lemma, egli dice che pare che gl’antecedenti et consequenti nella construttione si varijno da quello che erano nella proposta. Et ben che questo lemma non sia il medesimo con la nona d’Archimede, nel 2° trattato del Tartaglia, par non di meno nato di là et sotto la forma di quella propositione constretto, et simile ad una propositione che egli già molti anni fece, nella quale, sì come Archimede toglie i due quinti della massima et l’amico di V. S. un quarto, egli toglieva un ottavo, seguendo, ne l’altre, consimili proportionalità, nel lor genere. Et dice non esser molta fatica, seguendo la forma d’Archimede, formarsene assaissimo.
Quanto al Teorema, egli dubita se il centro del pezzo della piramide sia il punt : per ciò che, stando la deffinitione del centro delle gravità [dei] corpi posta da Pappo et adoprata dal marchese Del Monte nelle Mecaniche, non segue che se per lo centro o supposto passerà un piano, quel pezzo si divida in due parti ugualmente pesanti, come dovria quando fosse veramente il centro. Et il Comandine, che la medesima materia tratta nel libro De centro gravium alla XXVI propositione, molto più s’accosta a trovar il centro, che non par che faccia questa demonstratione, quantunque da quella del Comandino non sia molto differente. Et questo è quanto egli a bocca mi riferisce; et io le bacio la mano».
Circa l’autore di questa lettera, non siamo in grado di formare alcuna ipotesi attendibile.[6] Nell’ indice premesso al volume dei Manoscritti Galileiani che la contiene è scritto bensì « Lettera autografa del Marsili, nella quale si dà ragguaglio del giudizio fatto in Bologna sopra questa proposizione di Galileo»; ma tale indicazione è evidentemente erronea : infatti questa lettera non è di certo posteriore all’anno 1588; ed il solo Marsili di Bologna, col quale Galileo sia stato in relazione, fu Cesare, nato il 1° febbraio 1592.
Quanto poi all’autore del giudizio riferito in detta lettera, crediamo probabilissimo essere egli stato Pietro Antonio Cataldi, lettore di matematica nello Studio di Bologna fin dall’anno 1582 e che occupò quella cattedra senza alcuna interruzione fino al 1626.
Da tutto ciò noi siamo indotti a pensare che quello stesso documento contenente il giudizio del Moleto sia stato mandato al Cataldi, e che Galileo nel sottoporre quella sua dimostrazione ai lettori di matematica dei due principali Archiginnasi italiani d’ allora, non mirasse soltanto ad avere il loro parere, ma ancora cercasse di farsi conoscere in quei celebratissimi centri di studio, con lo scopo di ottenervi una cattedra.
CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM. POSTULATUM. Petimus, aequalium ponderum similiter in diversis libris disposi- torum, si horum quidem compositorum centrum gravitatis libram se- cundum aliquam rationem diviserit, et illorum etiam gravitatis cen- trum libram secundum eandem rationem dividere. Lemma. Sit linea ah bifariam in e secta, cuius medietas ac divisa sit in e; 10 ita ut quam rationem habet he ad ea^ e e h hanc habeat ae ad ec. Dico, he ipsius ea * ' * ~~' duplam esse. Quia enim ut he ad ea^ ita ea ad ee^ erit, componendo et permutando, ut ha ad ac^ ita ae ad ec; est autem ut ae ad ee, nempe ut ha ad ac, ita he ad ea: quare he ipsius ea dupla est. His positis demonstratur : Si magnitudines quoteunque sese aequaliter excedenteSy et quarum excessus earum minimae sint aequales, ita in libra disponantuTy ut ex distantiis aequalibus pendeanf, centrum gravitatis omnium libram ita dividere^ ut pars versus minores reliquae sit dupla. In libra itaque ah ex distantiis aequalibus pendeant quoteunque 20 numero magnitudines f] g, li, h, n, quales dictum est, quarum mi- . quocunque — 188 THEOREMATA CIECA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM.
nima sit n ; sintque puncta suspensionum a, e, d, e, 5, sitque omnium
magnitudinmn sic dispositarum gravitatis centrmn x, Ostendendum
est, partem librae hx, versus minores magnitudines, reliquae xa duplam
esse.
Dividatur libra bifariam in puncto d, quod vel in aliquo puncto
suspensionum, vel in duarum suspensionum medio cadet necessario; .jpg)
reliquae
vero suspensionum
distantiae, quae inter a et
d intercipiuntur, omnes bifariam
dividantur punctis io
m, i; magnitudines deinde
omnes in partes ipsi n aequales
dividantur : erunt
iam partes ipsius f tot numero, quot sunt quae ex libra pendent magnitudines;
partes vero ipsius g erunt una pauciores; et sic de reliquis. Sint
itaque ipsius f partes n^ o, r, s, t; ipsius g vero, n, o, r, s; ipsius h quoque,
n, 0, r ; ipsius denique h sint n, o : eruntque magnitudines omnes
in quibus n^ ipsi f aequales ; magnitudines vero omnes in quibus o,
ipsi g aequales ; et magnitudines in quibus r^ ipsi h ; illae autem
in quibus s, ipsi h; et magnitudo t ipsi n aequalis est. Quia igitur 20
magnitudines omnes, in quibus n, inter se sunt aequales, aeque ponderabunt
in signo d, quod libram ah bifariam dividit; et eandem
ob causani omnes magnitudines, in quibus 0, aeque ponderant in i;
illae autem in quibus r, in e ; et in quibus s^ in ììi aeque ponderant
- t autem in a suspenditur. Sunt igitur in libra ad, ex distantiis
aequalibus d, i, e, m, a, suspensae magnitudines sese aequaliter excedentes, et quarum excessus minimae aequatur : maxima autem, quae est composita ex omnibus n, pendet ex d; minima, quae est t, pendet ex a; et reliquae ordinate dispositae sunt. Estque rursus alia libra ab ; in qua magnitudines aliae, praedictis numero et magnitu- 30 dine aequales, eodem ordine dispositae sunt : quare librae ab, ad a centris omnium magnitudinum secundum eandem rationem dividentur. Est autem centrum gravitatis dictarum magnitudinum x : quare x dividit libras ha, ad sub eadem ratione, ita ut sicut hx ad xa, ita xa ad xd ; quare hx dupla est ipsius xa^ ex lemmate supra posito. Quod erat probandum. . f aequatur — 19. g aequatur — 27. minime — THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM. 189 Si conoidi paraholico figura inscrihatur^ et altera circumscrihatur ex cylindris aequalem altitudinem haheniihus, et axis dicti conoidis dividitur ita ut pars ad verticem partis ad hasin sit dupla ; centrum gravitatis inscriptae figurae basi portionis, dicto pundo divisionis, erìt propinquius ; centrum autem gravitatis circumscriptae a basi conoidis eodem puncto erit remotius ; eritque utrorumque centrorum a tali puncto distantia aequalis lineaCj quae sit pars sexta altitudinis unius cylindri ex quihus figurae Constant, Sit itaque conoidale parabolicum, et figurae quales dictae sunt :
altera sit inscripta, altera circumscripta ; et axis conoidis, qui sit ae,
dividatur in n, ita ut an ipsius'7?<3 sit dupla. Ostendendum est, cen-
trum gravitatis inscriptae figurae esse in linea ne, circumscriptae
autem centrum esse in an, Secentur figurae ita dispositae plano per
axem, et sit sectio parabolae hac ; plani autem secantis, et basis co-
noidis, .jpg)
sectio sit ì)C linea ; cylin-
drorum autem sectiones sint rec-
tangulae figurae: ut in descrip-
tione apparet. Primus itaque cy-
lindrus inscriptorum cuius axis
est dCy ad cylindrum cuius axis
est dy, eandem habet rationem quam quadratum id ad quadra- tum sy, hoc est quam da ad ay; cylindrus autem cuius axis est dy ad cylindrum y^ est ut sy ad r^ potentia, hoc est ut ya ad as; et eadem ratione cylindrus cuius axis est zy; ad eum, cuius axis est zu, est ut za ad au. Dicti itaque cylindri sunt inter se ut lineae da, ay^
za, au : istae autem sunt sese aequaliter excedentes, et est excessus
aequalis minimae, ita ut az dupla sit ad au; ay autem eiusdem est
tripla, et da quadrupla. Sunt igitur dicti cylindri magnitudines quae-
dam sese ad invicem aequaliter excedentes, quarum excessus aequan-
tur earum minimae; et est linea xm, in qua ex distantiis aequalibus
suspensae sunt (unumquodque enim cylindrorum centrum gravitatis
habet in medio axis) : quare, per ea quae superius demonstrata sunt,
centrum gravitatis magnitudinis ex omnibus compositae dividet li190 THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM.
neam xm, ita ut pars ad x reliquae sit dupla. Dividatur itaque, et
sit xoL ipsius am dupla ; est ergo a centrum gravitatis inscriptae figu-
rae. Dividatur au bifariam in s ; erit ^x dupla ipsius me : est autem
xa dupla ipsius olm; quare ze tripla erit ea. Est autem ae tripla ipsius en;
constat ergo, en maiorem esse quam ea^ et ideo a, quod est centrum
figurae inscriptae, magis accedere ad basin conoidis quam n. Et quia
est ut ae ad en ita ablatum se ad ablatum ecc^ erit et reliquum ad
reliquum, idest ae ad na^ ut ae ad en. Est ergo an tertia pars ipsius a^^
et sexta ipsius au. Eodem autem pacto cylindri circumscriptae figurae
demonstrabuntur esse sese aequaliter excedentes, et esse excessus aequa- io
les minimo, et habere in linea em centra gravitatum in distantiis
aequalibus. Si itaque dividatur em in tu, ita ut stu reliquae 7zm sit du-
pla, erit r. centrum gravitatis totius circumscriptae magnitudinis : et,
cum en dupla sit ad rim^ ae autem minor sit quam dupla ad em (cum
ei sit aequalis), erit tota ae minor quam tripla ipsius en; quare ev:
maior erit ipsa en. Et cum ein tripla sit ad m^r, et me cum duabus ea
similiter tripla sit ad me^ erit tota ae cum ae tripla ad en. Est au-
tem ae tripla ad en ; quare reliqua a^ reliquae nn tripla erit. Est
igitur nn sexta pars ipsius au. Haec autem sunt, quae demonstranda
fuerunt. 20
Ex his manifestum est, posse conoidi parabolico figuram inscribi,
et alterali! circumscribi, ita ut centra gravitatum earum a puncto n
minus quacunque proposita linea distent. Si enim sumatiir linea pro-
positae lineae sexcupla, fiantque cylindrorum axes, ex quibus figurae
componuntur, liac sumpta linea minores ; erunt, quae inter liarum
figurarum centra gravitatum et signum n cadunt lineae, proposita
linea minores.
Aliter idem.
Axis conoidis, qui sit ed, dividatur in 0, ita ut co ipsius od sit du-
pla. Ostendendum est, centrum gravitatis inscriptae figurae esse in so
linea od; circumscriptae vero centrum esse in co. Secentur figurae
plano per axem et e, ut dictum est. Quia igitur cylindri sn, tm, v% xe
sunt inter se ut quadrata linearum sd, in, vm, xi; haec autem sunt
inter se ut lineae ne, cm, ci, ce ; liae autein sunt sese aequaliter exce-
. est autem «e — 5. c[uaw ex — THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM. 191
dentes, et excessus aequantur minimae, nempe ce; estque cylindrus tm
cylindro qn aequalis; cylindrus autem vi iipsi pn, et xe ipsi In aequa-
tur ; ergo cylindri sn, qn, jpn, In sunt sese aequaliter excedentes, et
excessus aequantur minimo eorum, nempe cylindro In. Est autem ex-
cessus .jpg)
cylindri sn super cylindrum qn
anulus, cuius altitudo est qt, hoc
est nd^ latitudo autem sq; excessus
autem cylindri qn super pn est anu-
lus, cuius latitudo est qp; excessus
10 autem cylindri pn super In est anu-
lus, cuius latitudo pi. Quare dicti
anuli sq, qp, pi sunt inter se aequa-
les et cylindro In. Anulus igitur st
aequatur cylindro xe; anulus qv, qui
ipsius st est dupluSj aequatur cylin-
dro vi, qui similiter cylindri xe du-
plus est ; et eamdem ob causam
anulus px cylindro tm, et cylindrus le
cylindro sn aequalis erit. In libra ita-
20 que kf, puncta media rectarum ei, dn
connectente, et in partes aequales
punctis h, g secta, sunt magnitudines
quaedam, nempe cylindri sn, tm, vi,
xe; et gravitatis centrum primi cylindri est k, secundi vero est h, tertii g,
quarti f. Habemus autem et aliam libram mie, quae est ipsius fk di-
midia, totidemque punctis in partes aequas distributa, nempe mh, hi, nk;
et in ea aliae magnitudines, illis quae sunt in libra fk numero et ma-
gnitudine aequales, et centra gravitatum in signis m, h, n, k haben-
tes, et eodem ordine dispositae, sunt. Cylindrus enim le centrum gra-
30 vitatis habet in m, et aequatur cylindro sn centrum habenti in k ;
anulus vero px centrum habet ìi, et aequatur cylindro tm cuius cen-
trum est ìi; et anulus qv, centrum habens n, aequatur cylindro vi,
cuius centrum est g ; et denique anulus st, centrum habens k, aequatur
cylindro xe, cuius centrum est f. Igitur centrum gravitatis dictarum
magnitudinum libram dividet in eadem ratione : earumdem vero unum
est centrum, ac propterea punctum aliquod utrique librae commune,
quod sit y. Itaque fy ad yk erit ut ky ad ym; est ergo fy dupla 192 THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM.
ipsius yU ; et, divisa ce bifariam in z, erit zf dupla ipsius M, ac pro-
pterea zd tripla ipsius dy. Rectae vero do tripla est ed: maior est
ergo recta do, quam dy ; ac propterea y centrum inscriptae magis
ad basin accedit, quam punctum o. Et, quia ut ed ad do, ita est abla-
tum zd ad ablatum dy, erit et reliquum cz ad reliquum yo, ut ed
ad do : nempe yo tertia pars erit ipsius ez, hoc est pars sexta ipsius ee.
Eadem prorsus ratione demonstrabimus, cylindros circumscriptae
fìgurae sese aequaliter excedere, et esse excessus aequales minimo,
et ipsorum centra gravitatum in distantiis aequalibus librae hz con-
stituta ; et, pariter, anulos iisdem cylindris aequales similiter disponi in io
altera libra hg^ ipsius 'kz dimidia ; ac propterea circumscriptae gravi-
tatis centrum, quod sit r, libras ita dividere, ut zr ad rk sit ut kr
ad rg, Erit ergo zr dupla ipsius rk; ez vero rectae kd aequalis est,
et non dupla : erit tota ed minor quam tripla ipsius dr ; quare recta dr
maior est quam do : scilicet centrum circumscriptae a basi magis re-
cedit, quam punctum o. Et quia zk tripla est ad kr, et kd cum dna-
bus ze tripla ad kd. erit tota ed cum ez tripla ipsius dr. Est autem
ed tripla ad do: quare reliqua ez reliquae ro tripla erit; scilicet or
sexta pars est ipsius ce. Quod est propositum.
His autem praedemonstratis, demonstratur, centrum gravitatis pa- 20
rabolici conoidis axem ita dividere, ut pars ad verticem reliquae ad
basin sit dupla.
Esto parabolicum conoidale, cuius axis sit ab, divisus in n ita ut
an ipsius nh sit dupla. Ostendendum est, centrum gravitatis conoidis
esse n punctum. Si enim non est n, aut infra ipsum, aut supra ipsum,
erit. Sit, primum, infra, sitque x; et exponatur linea lo ipsi nx aequa-
lis, et lo contingenter dividatur in s; et quam rationem liabet utra-
que sinml hx, os ad os, liane liabeat conoidale ad solidum r; et inscri-
batur conoidi figura ex cylindris aequalem altitudinem lial^entibus,
ita ut quae inter iUius centrum gravitatis et punctum n intercipitur, so
minor sit quam Is; excessus autem, quo a conoide superatur, minor
sit solido r. Hoc autem fieri posse, clarum est. Sit itaque inscripta,
cuius gravitatis centrum sit i: erit iam ix maior so; et quia est, ut
xb cum so ad so, ita conoidale ad r (est autem r maius excessu quo
conoidale figuram inscriptam superat), erit conoidalis ad dictum ex-
cessum proportio, maior quam utriusque bx, os ad so; et, dividendo,
figura inscripta ad dictum excessum maiorem rationem habebit quam bx ad so, Habet autem hx ad xi proportionem adhuc minorem quam
ad so : inscripta igitur figura ad reliquas portiones multo maiorem
proportionem habebit quam hx ad
xi. Quam igitur proportionem ha-
bet inscripta figura ad reliquas
portiones, alia quaedam linea ha-
bebit ad xi: quae necessario maior
erit quam l)x. Sit igitur mx, Ha-
bemus itaque centrum gravitatis
conoidis X ; figurae autem in ipso
inscriptae centrum gravitatis est i: reliquarum ergo portionum, quibus conoidale inscriptam figuram exce- dit, gravitatis centrum erit in linea xm^ atque in eo ipsius puncto in quo sic terminata fuerit ut, quam pro- portionem habet inscripta figura ad excessum quo a conoide supe- ratur, eandem ipsam habeat ad xi. Ostensum autem est, hanc pro- portionem esse illam quam habet mx ad xi; erit ergo m gravitatis
centrum earum portionum quibus conoidale excedit inscriptam figu-
ram : quod certe esse non potest ; nani, si per m ducatur planum basi conoidis aequidistans, erunt omnes dictae portiones versus eandem partem, nec ab eo dividentur. Non est igitur gravitatis centrum ipsius conoidis infra punctum n. Sed ncque supra. Sit enim, si fieri potest, li ; et rursus, ut supra, exponatur linea lo aequalis ipsi hn, et contin- genter divisa in s; et quam proportionem habet utraque simul hn, so ad sl^ hanc habeat conoidale ad r; et conoidali circumscribatur figura ex cylindris, ut dictum est, a qua minori quantitate exceda- tur, quam sit solidum r; et linea Inter centrum gravitatis circum-
scriptae et signum n sit minor quam so: erit residua uh maior quam Is;
et quia est, ut utraque hn, os ad sl^ ita conoidale ad r (est autem r maius excessu quo conoidale a circumscripta superatur), ergo hn^ so ad si minorem rationem habet quam conoidale ad dictum excessum. Est autem hu minor quam utraque 6% so ; uh autem, maior quam si : multo igitur maiorem rationem habet conoidale ad dictas portiones. . mx ac xi — 20. earum proportionum — 22. dictae proportiones — 27. conoidale circum scrihatur — 35. dictas proportiones — 194 THEOREMATA CIKCA CENTRUM GRAVITATI8 SOLIDOEUM. I quam hu ad uh. Quam igitur rationem habet conoidale ad easdeiii portioneSj hanc habebit ad uh linea maior ipsa hu. Habeat, sitque ea mu; et, quia centrum gravitatis circumscriptae figurae est ti, centrum vero conoidis est h, atque est ut conoidale ad residuas por- tiones ita mu ad uh, erit m centrum gravitatis residuarum portionuni : quod similiter est impossibile. Non est ergo centrum gravitatis co- noidis supra punctum n: sed demonstratum est, quod ncque infra: restat ergo ut in ipso n sit necessario. Et eadem ratione demonstra- bitur de conoide plano super axe non erecto secto. Aliter, idem, ut constat in sequenti, centrum gravitatis conoidis parabolici Inter cen- io trum circumscriptae figurae et centrum inscriptae cadit. Sit conoidale, cuius axis ab; et centrum circumscriptae sit e, in- scriptae vero sit 0. Dico, centrum conoidis inter e, o puncta esse. Nani, si non, infra vel supra vel in altero eorum erit. Sit infra, ut in r: et, quia r est centrum gravitatis totius conoidis, inscriptae autem figurae est gravitatis centrum o, reliquarum ergo portionum, quibus inscripta figura a conoide superatur, centrum gravitatis erit in linea or ad partes r extensa, atque in eo puncto in quo sic terminatur, ut quam rationem liabent dictae portiones ad inscriptam, eandem liabeat or ad lineam 20 inter r et punctum illud cadentem. Sit liaoc ratio illa quam liabet or ad rx. Aut igitur x cadet extra conoidem, aut intra, aut in ijjsa basi. Si vel extra, vel in basi cadat, iam ma- nifestum est absurdum. Cadat intra: et, quia xr ad ro est ut inscripta figura ad excessum quo a conoide superatur, rationem illam quam liabet hr ad ro^ eandem liabeat inscripta figura ad solidum k, quod necessario minus erit dicto excessu ; et iiiscribatur alia figura, quae a conoide superetur minori quaiititate quam sit k, cuius 30 gravitatis centrum cadet intra oc. Sit u: et, quia prima figura ad k est ut hr ad ro, secunda autem figura, cuius centrum ti, maior est prima, et a conoide exceditur minori quantitate quam sit k, quam rationem liabet secunda figura ad excessum quo a conoide superatur, liane ha- bebit ad ru linea maior ipsa hr. Est autem r centrum gravitatis co- -2. easdem proportiones — 4:^-^. residuas proportiones — IG. ergo proportiomim — 19. dictae proportiones — 31. infra oc — THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM. 195 iioidis ; inscriptae autem secundae, u : centrum ergo reliquarum por- tionum erit extra conoidem, infra h; quod est impossibile. Et eodem pacto demonstrabitur, centrum gravitatis eiusdem conoidis non esse in linea ca, Quod autem non sit alterum punctorum e, o, manifestum est. Si enim dicas esse, descriptis aliis figuris, inscripta quidem maiori illa cuius centrum o, circumscripta vero minore ea cuius centrum e, centrum conoidis extra harum figurarum centrum caderet; quod nuper, impossibile esse, conclusum est. Restat ergo ut inter centrum circum- scriptae et inscriptae figurae sit. Quod si ita est, necessario erit in 10 signo ilio, quod axem dividit ut pars ad verticem reliquae sit dupla. Cum enim circumscribi et inscribi possint figurae, ita ut quae inter ipsarum centrum et dictum signum cadunt lineae, quacunque linea sint minores, aliter dicentem ad impossibile deduceremus: quod, sci- licet, centrum conoidis non intra inscriptae et circumscriptae centra caderet. Si fuerint tres lineae proportionales^ et qiiam proportionem habet mi- nima ad excessum quo maxima minimam superai^ eandem liabeat linea quaedam sumpta ad duas tertias excessus quo maxima mediam super at ; et, item, quam proportionem habet composita ex maxima et dupla mediae ad 20 compositam ex tripla maximae et mediae, eandem habuerit alia linea sumpta ad excessum quo maxima mediam excedit ; erunt ambae lineae sumptae simtd, tertia pars maximae proportionalium, Sint tres lineae proportionales ab, bc, bf : et quam proportionem habet bf ad af, liane liabeat ms ad duas tertias ipsius ca ; quam vero proportionem habet composita ex ab et dupla bc ad compositam ex tripla utriusque ab, bc, eandem liabeat alia, nempe sn, ad ac. Demon- strandum est, mn tertiam esse partem ipsius ab. Quia itaque ab, bc, bf sunt proportionales, erunt etiam ac, cf in eadem ratione : est igitur ut ab ad &c, ita ac ad cf ; et ut tripla ab ad triplam bc, ita ac ad cf. 30 Quam itaque rationem habet tripla ab cum tripla bc ad triplam c6, liane habebit ac ad lineam ^^ e o f h minorem ipsa cf. Sit illa co. Quare, componendo et per ' • conversionem proportionis, oa ad ac eandem habebit rationem, quam tripla ab cum sexcupla bc ad triplam ab cum tripla bc : habet autem ac -2. proportionum — 2. conoides — 11 cum n circumscribi — 196 THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATI^ SOLIDORUM, ad sn eandem rationem quam tripla ah cum tripla he ad ah cum dupla he : ex aequali igitur oa ad ns eandem habebit rationem, quam tripla ah cum sexcupla he ad ah cum dupla he. Veruni tripla ah cum sexcupla he triplae sunt ad ah cum dupla he ; ergo ao tripla est ad sn, Rursus : quia oe ad ea est ut tripla eh ad triplani ah cum tripla eh ; est auteni sicut ea ad ef^ ita tripla ah ad triplani he; ex aequali, ergo, in proportione perturbata, ut oe ad cf, ita erit tripla ah ad triplam ah cum tripla he^ et, per conversionem rationis, ut of ad fé, sic tripla he ad triplam a& cum tripla he. Est auteni, sicut ef ad ft^ ita ae ad c&^ et tripla ae ad triplam &c; ex aequali igitur, in propor- io tione perturbata, ut of ad fh ita tripla ae ad triplam utriusque si- mul ah, he. Tota igitur oh ad hf erit ut sexcupla aZ> ad triplam utriusque ah, he; et, quia fé, ea in eadem sunt ratione et eh, ha, erit sicut fé ad ea, ita oc ad ?^(^; et, componendo, ut fa ad ae, ita utra- que &a^ he ad k^, et sic tripla ad triplani : ergo ut fa ad ae, ita com- posita ex tripla ha et tripla he ad triplam ah ; quare, sicut fa ad duas tertias ipsius ae, sic composita ex tripla ha et tripla he ad duas ter- tias triplae ha, hoc est ad duplani ha. Sed sicut fa ad duas tertias ipsius ae, ita jfi ad ms ; sicut ergo fò ad ms, ita composita ex tripla ha et tripla ?>c ad duplani ha. Veruni sicut oh ad fh, ita erat sexcupla ah 20 ad triplani utriusque ah, he: ergo, ex aequali, oh ad ms eandem liabebit rationem quani sexcupla ah ad duplam ha ; quare ms erit tertia |)ars ipsius oh. Et demonstratum est, s;ì tertiam esse ])artem ipsius ao: constat ergo, mn ipsius ah tertiam similiter esse partem. Et lioc est quod demonstrandum fiiit. CuiusUbet frusti a eonoide paraholieo ahseissi eentrum (jravitatis est in linea reeta quae frusti est axis ; qua in tres aequas partes divisa, eentrum gravitatis in media existit, eamque sie dividit, ut pars versus minorem hasim ad partem versus maiorem hasim, eandem ìiaheat rationem qtiam maior hasis ad hasim minorem. no A conoide, cuius axis rh, abscissuin sit solidum, cuius axis he, et planum abscindens sit basi aequidistans ; secetur auteni altero plano per axem super basin erectum, sitque sectio parabolae ure ; liuius auteni et plani secantis et basis sectiones sint lineae rectae Im, tic: erit rh diameter proportionis, vel diametro aequidistans ; Im, uè erunt . utriusque ab, ac — ordinatim applicatae. Dividatur itaque eh in tres partes aequales, quarum media sit qy; haec autem signo i ita dividatur, ut, quam rationem habet basis cuius diameter uc, ad basin cuius diameter Im, hoc est quam habet quadratum uc ad quadratum Im^ eandem habeat qi ad iy. Demonstrandum est, i centrum gravitatis esse frusti Ime. Expo- natur linea ns aequalis ipsi hr, et sx aequalis ^. sit er; ipsarum autem ns, sx sumatur tertia proportionalis sg; et quam proportionem habet ng ad gs^ hanc habeat linea hq ad io.
Nihil autem refert, si punctus o supra vel
infra Im cadat. Et quia in sectione urc lineae Im^ uc ordinatim sunt applicatae, erit ut quadratum uc ad quadratum hn, ita linea hr ad re: est autem ut quadratum uc ad qua- dratum Irn^ ita qi ad iy^ et ut hr ad re^ ita ns ad sx: ergo qi ad iy est ut ns ad sx. Quare ut qy ad yi, ita erit utraque ns, sx ad sx, et ut eh ad yi, ita composita ex tripla ns et tripla sx ad sx: est autem ut eh ad hy, ita composita ex tripla utriusque simul ns, sx ad compositam ex ns, sx : ergo ut eh
ad hi, ita composita ex tripla ns et tripla sx ad compositam ex ns
et dupla sx. Sunt igitur tres lineae proportionales, ns, sx, gs; et quam proportionem habet sg ad gn, hanc habet quaedam sumpta oì ad duas tertias ipsius eh, hoc est ipsius nx; quam autem proportionem com- posita ex ns et dupla sx, ad compositam ex tripla ns et tripla s^, eandem habet alia quaedam sumpta ih ad he, hoc est ad nx. Per ea igitur, quae supra demonstrata sunt, erunt lineae illae simul sumptae tertia pars ipsius ns, hoc est ipsius rh ; est ergo rh tripla ipsius ho: quare o erit centrum gravitatis conoidis urc. Sit autem a centrum gravitatis conoidis Irm; frusti ergo ulmc centrum gravitatis est in
linea oh, atque in eo puncto qui illam sic terminat, ut quam rationem
ha])et ulmc frustum ad Irm portionem, eam habeat linea ao ad eam quae inter o et dictum punctum intercedit. Et quia ro est duae tertiae ipsius rh, ra vero duae tertiae ipsius re ; erit reliqua ao duae tertiae reliquae eh. Et quia est, ut frustum ulmc ad portionem Irm, ita ng ad gs ; ut autem ng ad gs, ita duae tertiae eh ad oi; duabus . ut rs ad — ut gy — 28. autem centrum — 30. qiiae rationem, — 31. frusti ad Irm 'proportionem — 34. proportionem Irm — 198 THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM. autem tertiis ipsius eh aequalis est linea ao ; erit ut frustum ulmc ad portionem Irm, ita cto ad oi, Constat igitur, frusti ulmc gravitatis centrum esse punctum % et axem ita dividere, ut pars versus mi- norem basin ad partem versus maiorem sit ut dupla maioris basis una cum minori ad duplam minoris una cum malori. Quod est proposi- tum elegantius explicatum. Si magnitudines quotcunque ita inter se dispositae, ut secunda addai super primam duplum primae, tertia addai super secundam iriplum primae, quarta vero addai super iertiam quadruplum primae, et sic unaquaeque sequen- tium super sili proximam addai magnitudinem primae muUiplicem secun- io dum numerum quem ipsa in ordine reiinuerit ; si, inquam, liae magnitu- dines ordinatim in libra ex distaniiis aequalihus siispendaniur ; centrum aequilibrii omnium compositarum libram ita dividet, ut pars versus minores magnitudines reliquae sit tripla. Esto libra LT ; et magnitudines, quales dictum est, in ea pendeant, et sint A, F, G, H, K, quarum A ex T suspensa sit prima. Dico, centrum aequilibrii libram TL ita secare, ut pars versus T reliquae sit tripla. Sit TL tripla ad LI, et SL tripla LP, et QL ipsius LN, et LP ipsius LO ; erunt IP, PN, NO, OL aequales. Et accipiatur in F magnitudo ipsius A dupla, in G vero alia eiusdem tripla, in H eiusdem 20 quadrupla, et sic deinceps ; et sint sumptae magnitudines illae in quibus a. Et idem fiat in magnitudinibus F, G, H, K : quum enim in F reliqua magnitudo, nempe h^ sit aequalis A, sumatur in G ipsius dupla, in H tripla etc; et sint liae magnitudines sumptae, in quibus h : et eodem pacto sumantur illae, in qui- -j bus Cy et in quibus d, et e. Erunt iam omnes in quibus a, aequales ipsi K ; composita vero ex omnibus h aequa- bitur ipsi H ; composita ex e, ipsi G ; ex omnibus d vero composita aequa- 30 bitur F ; et e, ipsi A. Et, quia TI dupla est IL, erit I punctum aequilibrii ma- gnitudinis compositae ex omnibus a; et, similiter, cum SP ipsius PL sit dupla, erit P punctum aequilibrii compositae ex omnibus h ; et, eamdem ob causam, N erit punctum . proportionem Inii — I -N X I Q S a a a a a n "^ a a a "a "1 ^ h a a " (1 h J b F ^ " ' b b Q b ^ e b J1 e e d e e ff ri '""B e K THEOEEMATA CIRCA CENTEUM GEAVITATIS SOLIDOEUM.
aequilibrii compositae ex omnibus e ; 0, vero, compositae ex d ; et L, ipsius e. Est igitur libra quaedam TL, in qua ex distantiis aequalibus pendent magnitudines quaedam K, H, Gr, F, A ; et, rursus, est alia libra LI, in qua ex distantiis similiter aequalibus pendent totidem numero magnitudines, et eodem ordine praedictis aequales : est eiiim composita ex omnibus a, quae pendet ex I, aequalis K pendenti ex L ; et composita ex omnibus 1), quae pendet ex P, aequatur H pendenti ex P ; et, similiter, composita ex e, quae pendet ex N, aequatur G ; et composita ex d, quae pendet ex 0, aequatur F ; et e, pendens ex L, 10 aequalis est A. Quare librae eadem ratione a centro compositarum ma- gnitudinum dividentur : unum est autem centrum compositae ex dictis magnitudinibus : erit ergo punctum commune rectae TL et rectae LI, centrum; quod sit X. Itaque ut TX ad XL, ita erit LX ad XI, et tota TL ad LI : est autem TL ipsius LI tripla : quare et TX ipsius XL tripla erit. Si magnitudines quotcumque ita sumantur, ut secunda addat super pri- man triplum primae, tertia vero super secundam addat quintuplum primae, quarta autem super tertiam addat septuplum primae, et sic deinceps unius- cuiusque augmentum super sibi proximam procedat multiplex primae ma- gnitudinis secundum numeros consequenter impares, sicuti procedunt qua-
drata linearum sese aequaliter excedentium, quarum excessus minimae sit
aequalis; et in libra ex distantiis aequalibus suspendantur ; omnium com- positarum centrum aequilibrii libram di- videte ut pars versus minor es magnitudines reliquae sit maior quam tripla, eadem vero, dempta una distantia, eiusdem minor sit qiiam tripla. Sint in libra BE magnitudines, qua- les dictum est, a quibus auferantur ma- gnitudines aliquae inter se ut quae in
praecedenti dispositae fuerunt; et sint
compositae ex omnibus a: erunt re- liquae, in quibus e, eodem ordine di- stributae, sed deficientes maxima. Sit ED tripla DB, et GF tripla FB; erit D centrum aequilibrii compositae ex omnibus a ; F vero, compositae ex omnibus e : quare compositae ex omnibus a, e, centrum cadet inter D 200 THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM. et F. Sit 0. Manifestum itaque est, EO ipsius OB maiorem esse quam triplani ; GO vero eiusdem OB minorem esse quam triplani. Quod de- monstrandum erat. Si micumque cono, vel coni portioni, ex cylindris aequalem altitudinem hahentibus figura una inscrihatur, et altera circumscribatur ; itemque axis eius ita dividatur, ut pars quae inter punctum divisionis et verticem in- tercipitur, reliquae sit tripla ; erit inscriptae figurae gravitatis centrum prò- pinquius basi coni quam punctum illud divisionis; circumscriptae vero centrum gravitatis eodem' puncto erit vertici propinquius. Sit itaque conus, cuius axis nm dividatur in s ita ut ns reliquae sm io sit tripla. Dico, cuiuscumque figurae cono, ut dictum est, inscriptae centrum gravitatis in axe nm consistere, et ad basin coni magis ac- cedere quam s p,unctum; circumscriptae vero gravitatis centrum si- militer in axe nm esse, et vertici propinquius quam sit s. Intelligatur itaque inscripta figura ex cylindris, quorum axes mCy eh, he, ea aequales sint. Primus itaque cylindrus, cuius axis me, ad cylindrum, cuius axis eh, eamdem habet rationem quam sua basis ad basin alterius (sunt enim eorum altitudines aequales) ; haec autem ratio eadem est ei quam 20 habet quadratum cn ad quadratum nh. Et si- militer ostendetur, cylindrum, cuius axis eh, ad cylindrum, cuius axis he, eandem habere rationem quam quadratum hn ad quadra- tum ne; cylindrum vero, cuius axis he, ad cy- lindrum circa axem ea, eam quam habet qua- dratum en ad quadratum na, Sunt autem lineae ne, nh, en, na sese aequaliter excedentes, et earum excessus aequantur minimae, nempe ipsi na, Sunt igitur magnitudines quaedam, nempe in- 30 scripti cylindri, eam inter se consequenter ratio- nem habentes, quam quadrata linearum sese aequaliter excedentium et quarum excessus minimae aequantur : suntque ita dispositi in libra ti, ut singulorun centra gravitatum in ea, et in distantiis aequalibus, consistant. Per ea igitur quae supra demonstrata sunt, constat, gravitatis centrum omnium ita composiTHEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM.
torum libram ti ita dividere, ut pars versus t sit maior quam tripla reliquae. Sit hoc centrum o ; est ergo to maior quam tripla ipsius oi, Verum tn tripla est ad im ; ergo tota mo minor erit quam pars quarta totius mìiy cuius ms pars quarta posita est. Constat ergo, signum o basi coni magis accedere quam s. Verum sit iam circumscripta figura constans ex cylindris, quorum axes me, eh, he, ea, an inter se sint aequales. Similiter, ut de inscriptis, ostendetur, esse inter se sicut quadrata linearum mn, ne, hn, ne, an, quae sese aequaliter excedunt, excessusque aequatur minimae an ; quare, per praemissam, centrum 10 gravitatis omnium cylindrorum ita dispositorum, quod sit ti, libram ri sic dividet, ut pars versus r, nempe ru, reliquae ni sit maior quam tripla ; tu vero eiusdem minor erit quam tripla. Sed nt tripla est ipsius im; igitur tota iim maior est quam pars quarta totius mn, cuius ms pars quarta posita est. Itaque punctum u vertici propin- quius est quam punctum 5. Quod ostendendum erat. Cono dato potest figura eireumserihi et altera inserihi, ex eylindris aequalem alti- tudinem hahentihus, ita ut linea quae inter centrum gravitatis circmnscriptae et centrum 20 gravitatis inseriptae intercipitur, minor sit quacumque linea proposita. Sit datus conus, cuius axis ah; data autem recta sit k. Dico: exponatur cylin- drus l aequalis ei qui in cono inscribitur, altitudinem habens dimidium axis ah, et ah dividatur in e, ita ut ac ipsius eh tripla sit, et quam rationem habet ae ad h, hanc ba- beat cylindrus l ad solidum x: cono autem circumscribatur figura ex eylindris aequa- 30 lem altitudinem habentibus, et altera in- scribatur, ita ut circumscripta excedat inscriptam minori quantitate quam sit so- lidum x; sitque circumscriptae gravitatis centrum e, quod cadet supra e; inseriptae vero centrum sit s, cadens sub e. Dico iam, es lineam ipsa h minorem esse. Nani, si non, ponatur ipsi ea aequalis eo : quia igitur oe ad h 202 THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM. eandem habet rationem quam l ad x, inscripta vero figura minor non est cylindro ?, excessus autem, quo dieta figura a circumscripta su- peratur, minor est solido x; inscripta igitur figura ad dictum exces- sum maiorem rationem habebit quam oe ad h. Ratio autem oe ad l non est minor ea quam habet oe ad es, cum es non ponatur minor h; igitur inscripta figura ad excessum, quo a circumscripta superatur, maiorem habet rationem quam oe ad es. Quam igitur rationem habet inscripta ad dictum excessum, hanc habebit ad Hneam es linea quae- dam maior ipsa eo, Sit illa er ; est autem inscriptae figurae centrum gravitatis s ; circumscriptae vero centrum est e : constat ergo, reli- io quarum portionum, quibus circumscripta excedit inscriptam, centrum gravitatis esse in linea re, atque in eo puncto, a quo sic terminatur, ut quam rationem habet inscripta ad dictas portiones, eandem habeat linea inter e et punctum illud intercepta, ad hneam es, Hanc vero rationem habet re ad es ; ergo reliquarum portionum, quibus circum- scripta superat inscriptam figuram, gravitatis centrum erit r: quod est impossibile; planum enim ductum per r basi coni aequidistans dictas portiones non secat. Falsum igitur est, lineam es non esse mi- norem ipsa h; erit ergo minor. Haec autem, non dissimili modo, in pyramide fieri posse, demonstrabuntur. 20 Ex his manifestum est, cono dato posse figuram unam circumscribi et alteram inscribi, ex cylindris aequalem altitudinem habentibus, ita ut lineae, quae inter earum centra gravitatum, et punctum quod axem coni ita dividit ut pars ad verticem rehquae sit tripla, inter- cipiuntur, quacunque data Hnea sint minores. Cum enim, ut demon- stratum est, dictum punctum axem dividens, ut dictum est, semper inter circumscriptae et inscriptae gravitatum centra reperiatur ; fie- rique possit, ut quae inter eadem centra mediat linea, minor sit qua- cumque hnea proposita ; multo minor eadem proposita linea sit, quae inter alterum centrorum et dictum punctum axem dividens inter cipitur. ao CuiusUhet coni vel pyramidis centrimi gravitatis axem dividit, ut pars ad verticem reliquae ad hasin sit tripla. Esto conus, cuius axis ah, et in e dividatur, ita ut ac reliquae eh sit tripla : ostendendum est, e esse gravitatis centrum coni. Nani si . ad es cum es. Non — 8. lineam es. Linea — 10-11, 15. reliquarum proportionum — 13, 18. dictas proportiones — 28. media — THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM.
non est, erit coni centrimi aut supra, aut infra punctum e. Sit prius infra, et sit e; et exponatur linea Ip aequalis cCy quae contingenter dividatur in n; et quam rationem habet utraque simul le, pn adpnj hanc habeat conus ad solidum x; et inscribatur cono solida figura ex cylindris aequalem altitudinem habentibus, cuius centrum gravitatis a puncto e minus distet quam sit linea In; et excessus, quo a cono superatur, minor sit solido x, Haec enim fieri posse, ex demonstratis manifestum est.
Sit iam inscripta figura, qualis petitur, cuius
centrum gravitatis sit i. Erit igitur ie linea maior quam np, cum Ip sit aequalis ce; et ic, minor In: et, quia utraque simul be, np ad np est ut conus ad x, excessus autem, quo conus inscriptam figuram superat, minor est solido x, ergo conus ad dictum excessum maiorem ra- tionem habebit quam utraque he, np ad np ; et, dividendo, inscripta figura ad excessum quo a cono superatur, maiorem rationem habebit quam le ad np. Habet autem le ad ei minorem adhuc rationem quam
ad np, cum ie maior sit np; ergo inscripta figura ad excessum quo
a cono superatur, multo maiorem rationem habet quam le ad eì. Quam igitur rationem habet inscripta ad dictum excessum, hanc habebit ad ei linea quaedam maior ipsa le, Sit illa me : quia igitur me ad ei est ut inscripta figura ad excessum quo a cono superatur, et est e centrum gravitatis coni, i vero est gravitatis centrum inscriptae, ergo m erit centrum gravitatis reliquarum portionum, quibus conus inscriptam sibi figuram excedit; quod est impossibile. Non est ergo centrum gravitatis coni infra e punctum. Sed ncque supra. Nam, si potest, sit r ; et rursus sumatur linea Ip, contingenter in n secta ; et
quam rationem habet utraque simul le, np ad ni, hanc habeat conus
ad x ; et circumscribatur similiter cono figura, a qua minori quan- titate superetur, quam sit solidum x ; et linea, quae inter illius cen- trum gravitatis et e intercipitur, minor sit ipsa np. Sit iam circum- scripta, cuius centrum sit o : erit reliqua or maior ipsa ni. Et quia, ut utraque simul le, pn ad ni, ita conus ad x, excessus vero, quo conus a circumscripta superatur, minor est quam x, ipsa vero lo . np cum Ip. Sit — 20. np cum ie. Maior. — 26. reliquarum proportionum — 204 THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATI^ SOLIDORUM. minor est quam utraque simul he, pi, ipsa autem or maior quam In; conus igitur ad reliquas portiones, quibus a circumscripta superatur, multo maiorem rationem habebit quam lo ad or. Habeat rationem illam mo ad or: erit mo maior ipsa he; et m erit centrmii gravitatis por- tionum, quibus conus a circumscripta superatur figura ; quod est in- conveniens. Non est ergo gravitatis centrum ipsius coni supra pun- ctum e : sed neque infra, ut ostensum est : ergo erit ipsum e. Et idem, eodem prorsus modo, in pyramide quacumque demonstrabitur. Si fuerint quatuor lineae continue proportionales ; et quam rationem habet minima earum ad excessum quo maxima minimam superai, eandem io hahuerit linea quaedam sumpta ad ^U exeessus quo maxima secundam su- perai ; quam autem rationem habet linea ìiis aequalis, maximae, duplae seeundae, et triplae tertiae, ad lineam aequalem qiiadruplae maximae, qua- druplae secundae, et quadruplae tertiae, eandem hahuerit alia quaedam sumpta ad excessum quo maxima secundam super at ; erunt istae duae lineae, simul sumptae, quarta pars maximae proportìonalium. Sint enim quatuor lineae proportionales ah, he, hd, he; et quam rationem habet he ad ea, eandem liabeat fg ad ^4 ipsius ac ; quam autem rationem habet linea aequalis ah et du2)lae he et trij)Iae hd, ad aequalem quadruplae ipsarum ah, he, hd, liane liabeat hg ad ae, 20 Lemma, Si fuerint quatuor lineae proportionales; et quam rationem hahet minima earum ad excessum quo maxima minimam superai, eandem hahiierii linea quaedam sumpta ad ires quartas exeessus quo maxima secundam superai; quam autem rationem hahet linea his aequalis, maximae, duplae secundae, et triplae tertiae, ad lineam aequalem quadruplae maximae, quadruplae secundae, et quadruplae tertiae, eandem hahuerit alia quaedam sumpta ad excessum quo maxima secundam superai; eruni istae duae lineae, simul sumptae quarta pars maximae proporiionalium. Sint enim quatuor lineae proportionales ah, he, hd, he; et quam ra- 30 tionem habet he ad ea, eandem habeat fg ad ^U ipsius ac; quam autem rationem habet linea aequalis ah, duplae he, et triplae hd, ad aequalem quadruplae ipsarum ah, he, hd, liane liabeat hg ad ac. Ostendendum . reìiquas proportiones — 4-5. gravitatis proportioniim — 26. tertio — 29. maxime — 30. linee — 32. duple —
- ↑ Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno due nuove scienze attenenti alla Mecanica et i Movimenti Locali, del signor Galileo Galilei, ecc. Con una Appendice del Centro di gravità di alcuni Solidi, In Leida, appresso gli Elsevirii. m.d.c. xxxviii, pag. 288.
- ↑ Fasti Consolari dell'Accademia Fiorentina di Salvino Salvini, ecc. In Firenze, MDGGXVII, nella stamperia di S. A. K. per Gio. Gaetano Tartini e Franchi, pag. 403.
- ↑ Biblioteca Nazionale di Firenze. - Mss. Galileiani, Par. V, Tomo VI, car. 73 v.
- ↑ In una prima stesura del suo racconto istorico della vita di Galileo, scrisse per verità il Viviani: « che già aveva compiiti i 22 anni » (Fasti Consolari dell'Accademia Fiorentina di Salvino Salvini, ecc. pag. 401); ma fa parte di alcune posteriorì correzioni (assai probabilmente suggerite dalla lettera surriferita, che fu nota al Viviani, poiché ci venne conservata in copia di sua mano), il cambiamento del 22 in 19. Cfr. Mss. Gal., P. I, T. I, car. 31 r.
- ↑ Edito in Galileo Galilei e lo Studio di Bologna per Antonio Favaro: negli Atti del B. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti; Ser. V, T. VII, pag. 765.
- ↑ Forse potrebbe essere di quel Giovanni Dall’Armi, sonatore bolognese, al quale, come sappiamo, era stata raccomandata la istanza con cui Galileo aspirò alla lettura matematica nello Studio di Bologna nell’anno 1587. Cfr. Galileo Galilei e lo Studio di Padova per Antonio Favaro. Vol. I. Firenze, Suc cessori Le Monnier, 1883, pag. 22-23.