Inter veritates insigniores, ad quas theoria divisionis circuli aditum aperuit, locum haud ultimum sibi vindicat summatio in Disquiss. Arithmet. art. 356 proposita, non modo propter elegantiam suam peculiarem, miramque foecunditatem, quam fusius exponendi occasionem posthac dabit alia disquisitio, sed ideo quoque, quod eius demonstratio rigorosa atque completa difficultatibus haud vulgaribus premitur. Quae sane eo minus exspectari debuissent, quum non tam in ipsum theorema cadant, quam potius in aliquam theorematis limitationem, qua neglecta demonstratio statim in promtu est, facillimeque e theoria in opere isto explicata derivatur. Theorema illic exhibitum est in forma sequente. Supponendo esse numerum primum, denotandoque indefinite omnia residua quadratica ipsius inter limites 1 et incl. sita per , omniaque non-residua inter eosdem limites iacentia per , denique per arcum , et per integrum determinatum quemcunque per non divisibilem, erit
I. pro valore ipsius , qui est formae ,
II. pro valore ipsius , qui est formae ,
Hae summationes l.c. omni rigore demonstratae sunt, neque alia difficultas hic remanet nisi in determinatione signi quantitati radicali praefigendi. Nullo quidem negotio ostendi potest, hoc signum eatenus a numero pendere, quod semper pro cunctis valoribus ipsius , qui sint residua quadratica ipsius , signum idem valere debeat, et contra signum huic oppositum pro omnibus valoribus ipsius , qui sint non-residua quadratica ipsius . Hinc totum negotium in valore versabitur, patetque, quam primum signum pro hoc valore valens innotuerit, pro omnibus quoque reliquis valoribus ipsius signa statim in promtu fore. Verum enim vero in hac ipsa quaestione, quae primo aspectu inter faciliores referenda videtur, in difficultates improvisas incidimus, methodusque, qua ducente sine impedimentis hucusque progressi eramus, auxilium ulterius prorsus denegat.
Haud abs re erit, antequam ulterius progrediamur, quaedam exempla summationis nostrae per calculum numericum evolvisse: huic vero quasdam observationes generales praemittere conveniet.
I. Si in casu eo, ubi est numerus primus formae , omnia residua quadratica ipsius inter 1 et incl. iacentia indefinite per exhibentur, omniaque non-residua inter eosdem limites per , constat, omnes inter ipsos , omnesque inter comprehensos fore: quamobrem quum omnes , , , manifesto totum complexum numerorum , , expleant, omnes cum omnibus iuncti omnes complectentur, et perinde omnes cum omnibus iuncti omnes comprehendent. Hinc erit Iam quum habeatur , , , , patet sponte fieri Summatio cosinuum vero hanc formam assumit unde fieri debebit
II. In casu eo, ubi est formae , complementum cuiusvis residui ad erit non-residuum, complementumque cuiusvis erit residuum; quocirca omnes convenient cum omnibus , omnesque cum omnibus . Hinc colligitur quare quum omnes et iuncti omnes numeros , , expleant, adeoque fiat , summationes sponte sunt obviae. Perinde erit unde patet, quomodo summationum altera ab altera pendeat.
Ecce iam computum numericum pro aliquot exemplis:
I. Pro adest valor unus ipsius , puta , valorque unus ipsius , puta ; est autem adeoque , .
II. Pro adsunt tres valores ipsius , puta , , , totidemque valores ipsius , puta , , , unde computamus
Hinc , .
III. Pro habemus quatuor valores ipsius , puta , , , , totidemque valores ipsius , puta , , , . Hinc computantur cosinus
Hinc .
IV. Pro adest valor unicus ipsius , puta , cui respondet
Hinc .
V. Pro adsunt valores tres ipsius , puta , , : hinc habentur sinus
VI. Pro valores ipsius sunt , , , , , quibus respondent sinus
VII. Pro valores ipsius sunt , , , , , , , , , quibus respondent sinus
In omnibus hisce exemplis quantitas radicalis signum positivum obtinet, idemque facile pro valoribus maioribus , etc. confirmatur, unde fartis iam probabilitas oritur, hoc generaliter perinde se habere. Sed demonstratio huius phaenomeni e principiis l.c. expositis peti nequit, plenissimoque iure altioris indaginis aestimanda est. Propositum itaque huius commentationis eo tendit, ut demonstrationem rigorosam huius elegantissimi theorematis, per plures annos olim variis modis incassum tentatam, tandemque per considerationes singulares satisque subtiles feliciter perfectam in medium proferamus, simulque theorema ipsum salva seu potius aucta elegantia sua ad longe maiorem generalitatem evehamus. Coronidis denique loco nexum mirabilem arctissimum inter hanc summationem aliudque theorema arithmeticum gravissimum docebimus. Speramus, hasce disquisitiones non modo per se geometris gratas fore, sed methodos quoque, per quas haec omnia efficere licuit, quaeque in aliis quoque occasionibus utiles esse poterunt, ipsorum attentione dignas visum iri.
Petita est demonstratio nostra e consideratione generis singularis progressionum, quarum termini pendent ab expressionibus talibus Brevitatis caussa talem fractionem per denotabimus, et primo quasdam observationes generales circa huiusmodi functiones praemittemus.
I. Quoties est integer positivus minor quam , functio manifesto evanescit, numeratore factorem implicante. Pro , factores in numeratore identici erunt ordine inverso cum factoribus in denominatore, unde erit : denique pro casu eo, ubi est integer positivus maior quam , habentur formulae sive generaliter
II. Porro facile confirmatur, haberi generaliter quamobrem, quum perinde sit quae series continuari poterit usque ad siquidem est integer positivus maior quam , erit
Hinc patet, si pro aliquo valore determinato ipsius quaevis functio integra sit, existente integro positivo, etiam quamvis functionem integram evadere debere. Quare quum suppositio illa pro locum habeat, eadem etiam pro valebit, atque hinc etiam pro etc., i.e. generaliter pro valore quocunque integro positivo ipsius erit functio integra, sive productum divisibile per
Duas iam progressiones considerabimus, quae ambae ad scopum nostrum ducere possunt. Progressio prima haec est sive quam brevitatis caussa per denotabimus. Primo statim obvium est, quoties sit numerus integer positivus, hanc seriem post terminum suum (qui fit ) abrumpi, adeoque in hoc casu summam fieri debere functionem finitam integram ipsius . Porro per art. 5. II. patet, generaliter pro valore quocunque ipsius haberi adeoque Sed manifesto fit unde deducimus aequationem
Quum pro fiat , per formulam modo inventam erit sive generaliter pro valore quocunque pari ipsius
Contra quum pro fiat , erit etiam sive generaliter pro valore quocunque impari ipsius
Ceterum summatio posterior iam inde derivari potuisset, quod in progressione terminus ultimus primum destruit, penultimus secundum etc.
Ad scopum quidem nostrum sufficit casus is, ubi est integer positivus impar: sed propter rei singularitatem etiam de casibus iis, ubi vel fractus vel negativus est, pauca adiecisse haud poenitebit. Manifesto tunc series nostra haud amplius abrumpetur, sed in infinitum excurret, facileque insuper perspicitur, divergentem eam fieri, quoties ipsi valor minor quam 1 tribuatur, quapropter ipsius summatio ad valores ipsius qui sint maiores quam 1 restringi debebit.
Per formulam [1] art. 6. habemus ita ut valor functionis etiam pro valore negativo integro pari ipsius in terminis finitis assignabilis sit. Pro reliquis vero valoribus ipsius functionem in productum infinitum sequenti modo convertemus.
Crescente in valorem negativum infinitum, functio transit in Haec itaque series aequalis est producto infinito Porro quum generaliter sit erit quos factores tandem continuo magis ad unitatem convergere palam est.
Attentionem peculiarem meretur casus , ubi fit Haec itaque series aequatur producto infinito sive scribendo pro , erit Haec aequalitas inter duas expressiones abstrusiores, ad quas alia occasione reveniemus, valde sane est memorabilis.
Secundo loco considerabimus progressionem hancce sive quam per denotabimus. Restringemus hanc disquisitionem ad casum eum, ubi est integer positivus, ita ut haec quoque series semper abrumpatur cum termino , qui est . Quum sit progressio ita quoque exhiberi poterit: Hinc fit Quare quum habeatur (art. 5. II) provenit Sed fit : quamobrem erit sive generaliter
Praemissis hisce disquisitionibus praeliminaribus iam propius ad propositum nostrum accedamus. Quum pro valore primo ipsius quadrata , , omnia inter se incongrua sint secundum modulum , patet, illorum residua minima secundum hunc modulum cum numeris identica esse debere, adeoque Perinde quum eadem quadrata ordine inverso congrua sint his ,,, etiam erit Statuendo itaque erit Hinc patet, summationes, quales in art. 1. propositae sunt, pendere a summatione serierum et , quocirca, missis illis, disquisitionem nostram his adaptabimus, eaque generalitate absolvemus, ut non modo valores primos ipsius , sed quoscunque compositos complectatur. Numerum autem supponemus ad primum esse: nullo enim negotio casus is, ubi et divisorem communem haberent, ad hunc reduci poterit.
Designemus quantitatem imaginariam per , statuamusque unde erit , sive radix aequationis . Facile perspicietur, omnes numeros , , per non divisibiles atque inter se secundum modulum incongruos esse: hinc potestates ipsius omnes erunt inaequales, singulae vero quoque aequationi satisfacient. Hanc ob caussam hae potestates omnes radices aequationis repraesentabunt.
Hae conclusiones non valerent, si divisorem communem haberet cum . Si enim esset talis divisor communis, foret per divisibilis, adeoque potestas inferior quam , puta , unitati aequalis. In hoc itaque casu potestates ipsius ad summum radices aequationis exhibebunt, et quidem revera tot radices diversas sistent, si est divisor communis maximus numerorum , . In casu nostro, ubi et supponuntur inter se primi, commode dici potest radix propria aequationis : contra in casu altero, ubi et haberent divisorem communem (maximum) , vocaretur radix impropria illius aequationis, manifesto autem tunc eadem foret radix propria aequationis . Radix impropria simplicissima est unitas, in eoque casu, ubi est numerus primus, impropriae aliae omnino non dabuntur.
Quodsi iam statuimus patet fieri , adeoque esse partem realem ipsius , atque prodire ex parte imaginaria ipsius factore suppresso. Totum itaque negotium reducitur ad inventionem summae : ad hunc finem vel series in art. 6 considerata, vel ea quam in art. 9 summare docuimus, adhiberi potest, prior tamen minus idonea est in casu eo, ubi est numerus par. Nihilominus lectoribus gratum fore speramus, si casum eum, ubi impar est, secundum methodum duplicem tractemus.
Supponamus itaque primo, esse numerum imparem, designare radicem propriam aequationis quamcunque, et in functione statui , atque . Hinc patet fieri usque ad (Haud superfluum erit monere, has aequationes eatenus tantum valere, quatenus supponitur radix propria: si enim esset radix impropria, in quibusdam illarum fractionum numerator et denominator simul evanescerent, adeoque fractiones indeterminatae fierent).
Hinc deducimus aequationem sequentem
Eadem aequatio etiamnum valebit, si pro substituitur , designante integrum quemcunque ad primum: tunc enim etiam erit radix propria aequationis . Scribamus itaque pro , sive quod idem est , eritque Multiplicemus utramque partem huius aequationis per prodibitque, propter aequatio sequens aut, partibus membri primi aliter dispositis,
Factores membri secundi aequationis [5] ita quoque exhiberi possunt usque ad quo pacto aequatio ista hanc formam assumit: Multiplicando hanc aequationem per [5] in forma primitiva, prodit ubi est vel vel , prout est formae , vel formae . Hinc Sed nullo negotio perspicitur, , , exhibere omnes radices aequationis , radice excepta, unde locum habere debebit aequatio identica indefinita Quamobrem statuendo , fiet et quum manifesto sit , aequatio nostra transit in hanc In casu itaque eo, ubi est formae , fiet Contra in casu altero, ubi est formae , fiet
Methodus art. praec. valorem tantummodo absolutum aggregatorum , assignat, ambiguumque linquit, utrum statuere oporteat in casu priori atque in casu posteriori , an . Hoc autem, saltem pro casu eo ubi , ex aequatione [5] sequenti modo decidere licebit. Quum sit, pro , aequatio ista transmutatur in Iam in casu eo, ubi est formae , in serie numerorum imparium reperiuntur , qui sunt minores quam , hisque manifesto respondent sinus positivi; contra reliqui erunt maiores quam , hisque sinus negativi respondebunt: quapropter productum omnium sinuum statuendum est aequale producto e quantitate positiva in multiplicatorem , adeoque aequalis erit producto e quantitate reali positiva in sive in 1, quoniam , atque per 4 divisibilis: i.e. quantitas erit realis positiva, unde necessario esse debebit
In casu altero, ubi est formae in serie numerorum imparium priores erunt minores quam , reliqui autem maiores. Hinc inter sinus arcuum negativi erunt , adeoque erit productum ex in quantitatem realem positivam in ; factor tertius est , qui cum primo iunctus producit , quoniam . Quamobrem necessario erit
Iam ostendemus, quo pacto eaedem conclusiones e progressione in art. 9 considerata deduci possint. Scribamus in aequ. [4] pro , , eritque usque ad terminum Quodsi hic pro accipitur radix propria aequationis , puta , atque simul statuitur , erit usque ad ubi notandum, nullum denominatorum , etc. fieri . Hinc aequatio [7] hancce formam assumit Multiplicando in membro secundo huius aequationis terminum primum per ultimum, secundum per penultimum etc., habemus Ex his productis partialibus facile perspicietur conflari productum quod itaque erit Haec aequatio identica est cum aequ. [5] in art. 12 e progressione prima derivata, ratiociniaque dein reliqua eodem modo adstruentur, ut in artt. 13 et 14.
Transimus ad casum alterum, ubi est numerus par. Sit primo formae sive impariter par, patetque, numeros , , etc. sive generaliter per divisos producere quotientes impares, adeoque secundum modulum congruos fieri ipsi . Hinc colligitur, si sit radix propria aequationis , adeoque , fieri Hinc in progressione terminus destruet primum, sequens secundum etc., adeoque erit
Superest casus, ubi est formae sive pariter par. Hic generaliter divisibilis erit per , adeoque Hinc in serie terminus aequalis erit primo, sequens secundo etc., ita ut fiat
Iam supponamus, in aequ. [7] art. 15 statui , et pro accipi radicem propriam aequationis , puta . Tunc perinde ut in art. 15 aequatio sequentem formam obtinet: sive
Porro quum sit , adeoque productumque e factoribus ,, etc. usque ad fiat , aequatio praecedens ita quoque exhiberi potest
Quum habeatur erit adeoque Multiplicando hunc valorem ipsius per prius inventum, adiungendoque utrimque factorem , prodit Sed fit Unde tandem concluditur Iam facile perspicietur, esse vel vel , prout scilicet vel formae sit, vel formae . Et quum sit erit in casu eo, ubi est formae , in casu altero autem, ubi est formae ,
Methodus art. praec. valores absolutos functionum , suppeditavit, conditionesque assignavit, sub quibus signa aequalia vel opposita illis tribuenda sint: sed signa ipsa hinc nondum determinantur. Hoc pro eo casu, ubi statuitur , sequenti modo supplebimus.
Statuamus , ita ut fiat , patetque, propter aequationem [8] ita exhiberi posse sive factoribus alio ordine dispositis Iam fit usque ad Quamobrem habetur Cosinus in hoc productum ingredientes manifesto omnes positivi sunt, factor autem fit . Hinc colligimus, esse productum ex in quantitatem realem positivam, unde necessario esse debebit
Operae pretium erit, omnes summationes hactenus evolutas, hic in unum conspectum colligere. Generaliter scilicet est
et in casu eo, ubi supponitur , quantitati radicali signum positivum tribui debet. Omni itaque iam rigore ea, quae pro valoribus primis ipsius in art. 3 per inductionem animadverteramus, demonstrata sunt, nihilque superest, nisi ut signa pro valoribus quibuscunque ipsius in omnibus casibus determinare doceamus. Sed antequam hoc negotium in omni generalitate aggredi liceat, primo casus eos, ubi est numerus primus vel numeri primi potestas, propius considerare oportebit.
Sit primo numerus primus impar, patetque per ea, quae in art. 10 exposuimus, esse , si statuatur , denotante ut illic indefinite omnia residua quadratica ipsius inter 1 et contenta. Quodsi quoque per indefinite omnia non-residua quadratica inter eosdem limites exprimimus, nullo negotio perspicitur, omnes numeros congruos fieri secundum modulum vel omnibus vel omnibus (nullo ordinis respectu habito), prout vel residuum sit vel non-residuum. Quamobrem in casu priori erit adeoque , si est formae , atque , si est formae .
Contra in casu altero, ubi est non-residuum ipsius , erit Hinc quum manifesto omnes , complexum integrum numerorum , , expleant, adeoque sit fiet adeoque , si est formae , atque , si est formae .
Hinc itaque colligitur
primo, si est formae , atque residuum quadraticum ipsius , secundo, si est formae , atque non-residuum ipsius , tertio, si est formae , atque residuum ipsius , quarto, si est formae , atque non-residuum ipsius ,
Sit secundo quadratum altiorve potestas numeri primi imparis , statuaturque , ita ut sit vel vel . Hic ante omnia observare convenit, si sit integer quicunque per non divisibilis, fieri Hinc facile perspicietur, fieri Termini enim reliqui progressionis distribui poterunt in progressiones partiales, quae singulae sint terminorum, et per transformationem modo traditam summas evanescentes conficiant.
Hinc colligitur, in casu eo, ubi fit , sive ubi est potestas numeri primi cum exponente pari, fieri Contra in casu eo, ubi , sive ubi est potestas numeri primi cum exponente impari, statuemus , unde erit radix propria aequationis , et quidem , ac dein
Sed summa șeriei per art. praec. determinatur, unde sponte concluditur, fieri signo positivo vel negativo valente, prout fuerit residuum vel non-residuum ipsius .
Facile quoque ex iis, quae in artt. 20. et 21 exposita sunt, derivatur propositio sequens, quae infra usum notabilem nobis praestabit. Statuatur denotante integrum quemcunque per non divisibilem, eritque in casu eo, ubi , vel ubi est potestas ipsius cum exponente impari,
Patet enim, oriri ex , si pro substituatur ; in casu priori autem et similes erunt, in posteriori dissimiles, quatenus sunt residua vel non-residua ipsius .
In casu eo autem, ubi est potestas ipsius cum exponente pari, manifesto fit , adeoque semper .
In artt. 20, 21, 22 consideravimus numeros primos impares, taliumque potestates: superest itaque casus, ubi est potestas binarii.
Pro manifesto fit .
Pro prodit : hinc , quoties est formae , atque , quoties est formae .
Pro habemus . Hinc erit
Si est altior potestas binarii, statuamus , ita ut sit vel vel , atque maior quam . Hic ante omnia observari debet, si sit integer quicunque per non divisibilis, fieri Hinc facile perspicietur, fieri Statuamus , eritque radix aequationis , et quidem dein fiet Sed summa seriei per ea, quae de casibus , explicavimus, determinatur, unde colligimus
in casu eo, ubi , sive ubi est potestas numeri 4, fieri quae sunt ipsissimae formulae pro traditae;
in casu eo autem, ubi , sive ubi est potestas binarii cum exponente impari maiori quam 3, fieri quae quoque prorsus conveniunt cum iis, quae pro tradidimus.
Etiam hic operae pretium erit, rationem summae progressionis ad determinare, ubi integrum quemcunque imparem denotat. Quum oriatur ex , mutando in , valor ipsius perinde a forma numeri pendebit, ut a forma ipsius . Statuamus , patetque fieri
I. in casu eo, ubi , vel altior potestas binarii cum exponente pari, fieri
II. in casu eo, ubi , vel altior potestas binarii cum exponente impari, fieri
Per praecc. determinatio summae pro iis casibus, ubi est numerus primus vel numeri primi potestas, complete perfecta est: superest itaque, ut eos quoque casus absolvamus, ubi e pluribus numeris primis compositus est, huc viam nobis sternet theorema sequens.
Theorema. Sit n productum e duobus integris positivis inter se primis , , statuaturque Tum dico fore .
Demonstr. Designet indefinite numeros , , , , indefinite numeros , , , , indefinite numeros , , , . Tunc patet esse Hinc erit , substituendo pro et omnes valores, omnibus modis inter se combinatos; hinc porro propter , erit . Sed nullo negotio perspicitur, singulos valores ipsius inter se diversos esse, atque alicui valori ipsius aequales. Hinc erit .
Ceterum notandum est, esse radicem propriam aequationis , atque radicem propriam aequationis .
Sit porro productum e tribus numeris inter se primis , , , patetque, si statuatur , etiam et inter se primos fore; adeoque productum e duobus factoribus Sed quum sit radix propria aequationis , erit ipse factor prior productum ex si statuitur . Hinc patet, esse productum e factoribus tribus ubi , , erunt resp. radices propriae aequationum , , .
Hinc facile concluditur generaliter, si sit productum e factoribus quotcunque inter se primis , , etc., fieri productum e totidem factoribus, qui sint ubi etc. erunt radices propriae aequationum , etc.
Ex his principiis transitus ad determinationem completam ipsius pro valore quocunque ipsius sponte iam obvius est. Decomponatur scilicet in factores , , etc. tales, qui sint vel numeri primi inaequales, vel potestates numerorum primorum inaequalium, statuatur , , etc., eruntque , , etc. radices propriae aequationum , , etc., atque productum e factoribus Sed hi singuli factores per ea, quae in artt 20, 21, 23 docuimus, determinari poterunt, unde etiam valor producti innotescet. Regulas pro determinandis illis factoribus hic in unum obtutum collegisse haud inutile erit. Quum radix fiat , aggregatum , quod per denotabimus, perinde per numerum determinabitur, ut in disquisitione nostra generali per . Duodecim iam casus sunt distinguendi.
I. Si est numerus primus formae , puta , vel potestas talis numeri primi cum exponente impari, simulque residuum quadraticum ipsius , erit .
II. Si manentibus reliquis est non-residuum quadraticum ipsius , erit .
III. Si est numerus primus formae , puta , vel potestas talis numeri primi cum exponente impari, simulque residuum quadraticum ipsius , erit .
IV. Si, manentibus reliquis ut in III, est non-residuum quadraticum ipsius , erit .
V. Si est quadratum, altiorve potestas numeri primi (imparis) cum exponente pari, erit .
VI. Si , erit .
VII. Si , altiorve potestas binarii cum exponente pari, simulque formae , erit .
VIII. Si, manentibus reliquis ut in VII, est formae , erit .
IX. Si , altiorve potestas binarii cum exponente impari, simulque formae , erit .
X. Si, manentibus reliquis ut in IX, est formae , erit .
XI. Si manentibus reliquis est formae , erit .
XII. Si manentibus reliquis est formae , erit .
Sit exempli caussa , atque . Hic erit
Hinc fit .
Sit pro eodem valore ipsius , : tunc respondebit
Hinc conflatur productum .
Methodus alia, summam generaliter determinandi, petitur ex iis, quae in artt. 22, 24 exposita sunt. Statuamus , atque ita ut habeatur , , , etc. Tunc erit productum e factoribus adeoque productum e factoribus Iam factor primus determinatus est per disquisitiones supra traditas (art. 19); factores reliqui vero , , etc. prodeunt per formulas artt. 22, 24, quas ut omnia iuncta habeantur, hic denuo colligimus[1]. Duodecim casus hic sunt distinguendi, scilicet
I. Si est numerus primus (impar) , vel talis numeri potestas cum exponente impari, atque residuum quadraticum ipsius , erit factor respondens .
II. Si manentibus reliquis est non-residuum quadraticum ipsius , erit .
III. Si est quadratum numeri primi imparis, altiorve eius potestas cum exponente pari, erit .
IV. Si est , aut altior binarii potestas cum exponente pari, simulque formae , erit .
V. Si, manentibus reliquis ut in IV, est formae , atque formae , erit .
VI. Si, manentibus reliquis ut in IV, est formae , atque formae , erit .
VII. Si est , aut altior binarii potestas cum exponente impari, atque formae , erit .
VIII. Si, manentibus reliquis ut in VII, est formae , erit .
IX. Si, manentibus reliquis ut in VII, est formae , atque formae , erit .
XI. Si, manentibus reliquis ut in VII, est formae , atque formae erit .
XII. Si, manentibus reliquis ut in VII, est formae , atque formae , erit .
Casum eum, ubi , praeterimus; hic quidem foret sive indeterminatus, sed tunc semper .
Factores reliqui , etc. perinde pendent a , etc., ut ab , quatenus in illorum determinationem ingrediuntur.
Secundum hanc methodum alteram exemplum primum art. 29 ita se habet:
Hinc conflatur productum , ut in art. 29.
Quum valor ipsius per methodos duas determinari possit, quarum altera relationibus numerorum , , etc. ad numeros , , etc. innititur, altera vero a relationibus ipsius ad numeros , , etc. pendet, inter omnes has relationes nexus quidam conditionalis intercedere debet, ita ut quaevis e reliquis determinabilis esse debeat. Supponamus, omnes numeros , , etc. esse numeros primos impares, atque accipi ; distribuanturque factores , , etc. in duas classes, quarum altera contineat eos, qui sunt formae , et qui denotentur per , , etc., altera vero constet ex iis, qui sunt formae , et qui exprimantur per , , etc.: multitudinem posteriorum designabimus per . His ita factis, observamus primo, fieri formae , si fuerit par (quorsum etiam referri debet casus is, ubi factores classis alterius omnino desunt, sive ubi ), contra fieri formae , si fuerit impar. Iam determinatio ipsius per methodum primam ita perficitur. Pendeant numeri , , etc., , , etc. ita a relationibus numerorum , , etc., , , etc. ad numeros , , etc., , , etc. resp., ut statuatur et perinde de reliquis. Tunc erit productum e factoribus , , etc., , , etc., adeoque Per methodum secundam, aut potius statim per praecepta art. 19, erit
Utrumque casum simul complecti licet per formulam sequentem: Hinc itaque colligitur Sed fit , quoties est formae vel , atque , quoties est formae vel , unde deducimus sequens elegantissimum
Theorema. Denotantibus , , etc. numeros primos impares positivos inaequales, quorum productum statuitur , et inter quos sint formae , reliqui formae : multitudo eorum ex his numeris , , etc., quorum non-residua resp. sunt , , etc., par erit, quoties est formae vel , impar vero, quoties est formae vel .
Ita e.g. statuendo , , , , habemus tres numeros formae , puta , et ; est autem ; ; ; , sive unicus est non-residuum ipsius .
Celeberrimum theorema fundamentale circa residua quadratica nihil aliud est, nisi casus specialis theorematis modo evoluti. Limitando scilicet multitudinem numerorum , , etc. ad duos, patet, si unus tantum ex ipsis, vel neuter, sit formae , fieri debere vel simul , , vel simul , ; contra si uterque est formae , unus ex ipsis alterius non-residuum esse debebit, atque hic illius residuum. En itaque demonstrationem quartam huius gravissimi theorematis, cuius demonstrationem primam et secundam in Disquisitionibus Arithmeticis, tertiam nuper in commentatione peculiari tradidimus (Commentt. T. XVI): duas alias principiis rursus omnino diversis innitentes in posterum exponemus. Summopere sane est mirandum, quod hocce venustissimum theorema, quod primo omnes conatus tam pertinaciter eluserat, tot postea viis toto coelo inter se distantibus adiri potuerit.
Etiam theoremata reliqua, quae quasi supplementum ad theorema fundamentale efficiunt, scilicet per quae dignoscuntur numeri primi, quorum residua vel non-residua sunt , et , ex iisdem principiis derivari possunt. Incipiemus a residuo .
Statuendo , ita ut sit numerus primus, atque , per methodum art. 28, erit productum e duobus factoribus, quorum alter erit , vel , si 8, vel quod idem est 2, est residuum quadraticum ipsius ; contra vel , si 2 est non-residuum ipsius . Factor secundus autem est Sed per art. 18 semper erit ; dividendo hunc valorem per quatuor valores factoris secundi, patet, factorem primum fieri debere Hinc sponte sequitur, in casu primo et quarto 2 esse debere residuum ipsius , in casu secundo et tertio autem non-residuum.
Numeri primi, quorum residuum vel non-residuum est , facile dignoscuntur adiumento theorematis sequentis, quod etiam per se ipsum satis memorabile est.
Theorema. Productum e duobus factoribus est , si est impar; vel , si est impariter par; vel , si est pariter par.
Demonstr. Quum manifesto fiat productum ita quoque exhiberi poterit quod aggregatum verticaliter summatum producit Iam si impar est, singulae partes huius aggregati, praeter primam , erunt ; secunda enim manifesto fit , tertia etc. Quoties vero par est, excipere insuper oportebit partem quae fit . In casu priori itaque fit , in posteriori autem ; sed fit , si est pariter par, tunc itaque prodit ; contra fit , si est impariter par, ubi itaque evadit . Q. E. D.
Iam per art. 22 constat, si sit numerus primus impar, fieri vel , prout fuerit residuum vel non-residuum ipsius . Hinc in casu priori esse debebit , in posteriori ; quamobrem per art. 13 concludimus, casum priorem tunc tantum locum habere posse, quando sit formae , casumque posteriorem, quando sit formae .
Denique e combinatione conditionum pro residuis et inventarum sponte sequitur, esse residuum cuiusvis numeri primi formae vel , atque non-residuum cuiusvis numeri primi formae vel .