 SECT. I. DE Methodo rationum primarum & ultima rum. |
SECT. III. De motu corporum in Conicis sectionibus eccentri cis.  |
SECT. II.
De Inventione Virium Centripetarum.
Prop. I. Theorema I.
Areas quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum virium ductis describunt, & in planis immobilibus consistere, & esse temporibus proportionales.
Dividatur tempus in partes æquales, & prima temporis parte describat corpus vi insita rectam AB. Idem secunda temporis parte, si nil impediret, recta pergeret ad c, (per Leg. I) describens lineam Bc æqualem ipsi AB, adeo ut radiis AS, BS, cS ad centrum actis, consectæ forent æquales areæ ASB, BSc. Verum ubi corpus venit ad B, agat vis centripeta impulsu unico sed magno, faciatq; corpus a recta Bc deflectere & pergere in recta BC. Ipsi BS parallela agatur cC occurrens BC in C, & completa secunda temporis parte, corpus (per Legum Corol. I) reperietur in C, in eodem plano cum triangulo ASB. Junge SC, & triangulum SBC, ob parallelas SB, Cc, æquale erit triangulo SBc, atq; adeo etiam triangulo SAB. Simili argumento si vis centripeta successive agat in C, D, E, &c. faciens ut corpus singulis temporis particulis singulas describat rectas CD, DE, EF, &c. jacebunt hæ in eodem plano, & triangulum SCD triangulo SBC & SDE ipsi SCD & SEF ipsi SDE æquale erit. Æqualibus igitur temporibus æquales areæ in plano immoto describuntur: & componendo, sunt arearum summæ quævis SADS, SAFS inter se, ut sunt tempora descriptionum. Augeatur jam nu merus & minuatur latitudo triangulorum in infinitum, & eorum ultima perimeter ADF, (per Corollarium quartum Lemmatis tertii) erit linea curva; adeoq; vis centripeta qua corpus de tangente hujus curvæ perpetuo retrahitur, aget indesinenter; areæ vero quævis descriptæ SADS, SAFS temporibus descriptionum semper proportionales, erunt iisdem temporibus in hoc casu proportionales. Q.E.D.
Corol. 1. In mediis non resistentibus, si areæ non sunt temporibus proportionales, vires non tendunt ad concursum radiorum.
Corol. 2. In mediis omnibus, si arearum descriptio acceleratur, vires non
tendunt ad concursum radiorum, sed inde declinant in consequentia.Pro. II. Theor. II.
Corpus omne quod, cum movetur in linea aliqua curva, & radio ducto ad punctum vel immobile, vel motu rectilineo uniformiter progrediens, describit areas circa punctum illud temporibus proportionales, urgetur a vi centripeta tendente ad idem punctum.
Cas. 1. Nam corpus omne quod movetur in linea curva, detorquetur de cursu rectilineo per vim aliquam in ipsum agentem. (per Leg. I.) Et vis illa qua corpus de cursu rectilineo detorquetur & cogitur triangula quam minima SAB, SBC, SCD &c. circa punctum immobile S, temporibus æqualibus æqualia describere, agit in loco B secundum lineam parallelam ipsi cC (per Prop. 40 Lib. I Elem. & Leg. II.) hoc est secundum lineam BS & in loco C secundum lineam ipsi dD parallelam, hoc est secundum lineam CS, &c. Agit ergo semper secundum lineas tendentes ad punctum illud immobile S. Q. E. D.
Cas. 2. Et, per Legum Corollarium quintum, perinde est sive quiescat superficies in qua corpus describit figuram curvilineam, sive moveatur eadem una cum corpore, figura descripta & puncto suo S uniformiter in directum.
Scholium.
Urgeri potest corpus a vi centripeta composita ex pluribus viribus. In hoc casu sensus Propositionis est, quod vis illa quæ ex omnibus componitur, tendit ad punctum S. Porro si vis aliqua agat secundum lineam superficiei descriptæ perpendicularem, hæc faciet corpus deflectere a plano sui motus, sed quantitatem superficiei descriptæ nec augebit nec minuet, & propterea in compositione virium negligenda est.
Prop. III. Theor. III.
Corpus omne quod, radio ad centrum corporis alterius utcunq; moti ducto, describit areas circa centrum illud temporibus proportionales, urgetur vi composita ex vi centripeta tendente ad corpus alterum & ex vi omni acceleratrice, qua corpus alterum urgetur.
Nam (per Legum Corol. 6.) si vi nova, quæ æqualis & contraria sit illi qua corpus alterum urgetur, urgeatur corpus utrumq; secundum lineas parallelas, perget corpus primum describere circa corpus alterum areas easdem ac prius: vis autem qua corpus alterum urgebatur, jam destruetur per vim sibi æqualem & contrariam, & propterea (per Leg. 1.) corpus illud alterum vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum, & corpus primum, urgente differentia virium, perget areas temporibus proportionales circa corpus alterum describere. Tendit igitur (per Theor. 2.) differentia virium ad corpus illud alterum ut centrum. Q.E.D.
Corol. 1. Hinc si corpus unum radio ad alterum ducto describit areas temporibus proportionales, atq; de vi tota (sive simplici, sive ex viribus pluribus, juxta Legum Corollarium secundum, composita,) qua corpus prius urgetur, subducatur (per idem Legum Corollarium) vis tota acceleratrix qua corpus alterum urgetur; vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur tendet ad corpus alterum ut centrum.
Corol. 2. Et si areæ illæ sunt temporibus quamproxime proportionales, vis reliqua tendet ad corpus alterum quamproxime.
Corol. 3. Et vice versa, si vis reliqua tendit quamproxime ad corpus alterum, erunt areæ illæ temporibus quamproxime proportionales.
Corol. 4. Si corpus radio ad alterum corpus ducto describit areas quæ, cum temporibus collatæ, sunt valde inæquales, & corpus illud alterum vel quiescit vel movetur uniformiter in directum; actio vis centripetæ ad corpus illud alterum tendentis, vel nulla est, vel miscetur & componitur cum actionibus admodum potentibus aliarum virium: Visq; tota ex omnibus, si plures sunt vires, composita, ad aliud (sive immobile sive mobile) centrum dirigitur, circum quod æquabilis est arearum descriptio. Idem obtinet ubi corpus alterum motu quocunq; movetur, si modo vis centripeta sumatur, quæ restat post subductionem vis totius agentis in corpus illud alterum.
Scholium
Quoniam æquabilis arearum descriptio Index est centri quod vis illa respicit qua corpus maxime afficitur, corpus autem vi ad hoc centrum tendente retinetur in orbita sua, & motus omnis circularis recte dicitur circa centrum illud fieri, cujus vi corpus retrahitur de motu rectilineo & retinetur in Orbita: quidni usurpemus in sequentibus æquabilem arearum descriptionem ut Indicem centri circum quod motus omnis circularis in spatiis liberis peragitur?
Prop. IV. Theor. IV.
Corporum quæ diversos circulos æquabili motu describunt, vires centripetas ad centra eorundem circulorum tendere, & esse inter se ut arcuum simul descriptorum quadrata applicata ad circulorum radios.
Corpora B, b in circumferentiis circulorum BD, bd gyrantia, simul describant arcus BD, bd. Quoniam sola vi insita describerent tangentes BC, bc his arcubus æquales, manifestum est quod vires centripetæ sunt quæ perpetuo retrahunt corpora de tangentibus ad circumferentias circulorum, atq; adeo hæ sunt ad invicem in ratione prima spatiorum nascentium CD, cd: tendunt vero ad centra circulorum per Theor. II, propterea quod areæ radiis descriptæ ponuntur temporibus proportionales. Fiat figura tkb figuræ DCB similis, & per Lemma V, lineola CD erit ad lineolam kt ut arcus BD ad arcum bt: nec non, per Lemma XI, lineola nascens tk ad lineolam nascentem dc ut bt quad. ad bd quad. & ex æquo lineola nascens DC ad lineolam nascentem dc ut BD×bt ad bd quad. seu quod perinde est, ut ad , adeoq; (ob æquales rationes & ) ut ad Q.E.D.
Corol. 1. Hinc vires centripetæ sunt ut velocitatum quadrata applicata ad radios circulorum.
Corol. 2. Et reciproce ut quadrata temporum periodicorum applicata ad radios ita sunt hæ vires inter se. Id est (ut cum Geometris loquar) hæ vires sunt in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum directe & ratione simplici radiorum inverse: necnon in ratione composita ex ratione simplici radiorum directe & ratione duplicata temporum periodicorum inverse.
Corol. 3. Unde si tempora periodica æquantur, erunt tum vires centripetæ tum velocitates ut radii, & vice versa.
Corol. 4. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut radii, vires centripetæ sunt æquales, & velocitates in dimidiata ratione radiorum: Et vice versa.
Corol. 5. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut quadrata radiorum, vires centripetæ sunt reciproce ut radii, & velocitates æquales; Et vice versa.
Corol. 6. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut cubi radiorum, vires centripeta: sunt reciproce ut quadrata radiorum; velocitates autem in radiorum dimidiata ratione: Et vice versa.
Corol. 7. Eadem omnia de temporibus, velocitatibus & viribus, quibus corpora similes figurarum quarumcunq; similium, centraq; similiter posita habentium, partes describunt, consequuntur ex Demonstratione præcedentium ad hosce casus applicata.
Scholium.
Casus Corollarii sexti obtinet in corporibus cælestibus (ut seorsum col ligerunt etiam nostrates Wrennus, Hookius & Halleus) & propterea quæ spectant ad vim centripetam decrescentem in duplicata ratione distantiarum a centris decrevi fusius in sequentibus exponere.
Porro præcedentis demonstrationis beneficio colligitur etiam proportio vis centripetæ ad vim quamlibet notam, qualis est ea gravitatis. Nam cum vis illa, quo tempore corpus percurrit arcum BC, impellat ipsum per spatium CD, quod ipso motus initio æquale est quadrato arcus illius BD ad circuli diametrum applicato; & corpus omne vi eadem in eandem semper plagam continuata, describat spatia in duplicata ratione temporum: Vis illa, quo tempore corpus revolvens arcum quemvis datum describit, efficiet ut corpus idem recta progrediens describat spatium quadrato arcus illius ad circuli diametrum applicato æquale; adeoq; est ad vim gravitatis ut spatium illud ad spatium quod grave cadendo eodem tempore describit. Et hujusmodi Propositionibus Hugenius, in eximio suo Tractatu de Horologio oscillatorio, vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis contulit.
Demonstrari etiam possunt præcedentia in hunc modum. In circulo quovis describi intelligatur Polygonum laterum quotcunq; Et si corpus in Polygoni lateribus data cum velocitate movendo, ad ejus angulos singulos a circulo reflectatur; vis qua singulis reflexionibus impingit in circulum erit ut ejus velocitas, adeoq; summa virium in dato tempore erit ut velocitas illa & numerus reflexionum conjunctim, hoc est (si Polygonum detur specie) ut longitudo dato illo tempore descripta & longitudo eadem applicata ad Radium circuli, id est ut quadratum longitudinis illius applicatum ad Radium; adeoq; si Polygonum lateribus infinite diminutis coincidat cum circulo, ut quadratum arcus dato tempore descripti applicatum ad radium. Hæc est vis qua corpus urget circulum, & huic æqualis est vis contraria qua circulus continuo repellit corpus centrum versus.
Prop. V. Prob. I.
Data quibuscunq; in locis velocitate, qua corpus figuram datam viribus ad commune aliquod centrum tendentibus describit, centrum illud invenire.
Figuram descriptam tangant rectæ tres PT, TQV, VR in punctis totidem P, Q, R, concurrentes in T & V. Ad tangentes erigantur perpendicula PA, QB, RC, velocitatibus corporis in punctis illis P, Q, R a quibus eriguntur reciproce proportionalia; id est ita ut sit PA ad QB ut velocitas in Q ad velocitatem in P, & QB ad RC ut velocitas in R ad velocitatem in Q. Per perpendiculorum terminos A, B, C ad angulos rectos ducantur AD, DBE, EC concurrentia in D & E: Et actæ TD, VE concurrent in centro quæsito S.
Nam cum corpus in P & Q radiis ad centrum ductis areas describat temporibus proportionales, sintq; areæ illæ simul descriptæ ut velocitates in P & Q ductæ respective in perpendicula a centro in tangentes PT, QT demissa: Erunt perpendicula illa ut velocitates reciproce, adeoq; ut perpendicula AP, BQ directe, id est ut perpendicula a puncto D in tangentes demissa. Unde facile colligitur quod puncta S, D, T sunt in una recta. Et simili argumento puncta S, E, V sunt etiam in una recta; & propterea centrum S in concursu rectarum TD, VE versatur. Q. E. D.
Pro. VI. Theor. V.
Si corpus P revolvendo circa centrum S, describat lineam quamvis curvam APQ, tangat vero recta ZPR curvam illam in puncto quovis P, & ad tangentem ab alio quovis curvæ Q agatur QR distantiæ SP parallela, ac demittatur QT perpendicularis ad distantiam SP: Dico quod vis centripeta sit reciproce ut solidum , si modo solidi illius ea semper sumatur quantitas quæ ultimo fit ubi coeunt puncta P & Q.
Namq; in figura indefinite parva QRPT lineola nascens QR, dato tempore, est ut vis centripeta (per Leg. II.) & data vi, ut quadratum temporis (per Lem. X.) atq; adeo, neutro dato, ut vis centripeta & quadratum temporis conjunctim, adeoq; vis centripeta ut lineola QR directe & quadratum temporis inverse. Est autem tempus ut area SPQ, ejus dupla SP×QT, id est ut SP & QT conjunctim, adeoq; vis centripeta ut QR directe atq; SP quad. in QT quad. inverse, id est ut inverse. Q. E. D.
Corol. Hinc si detur figura quævis, & in ea punctum ad quod vis centripeta dirigitur; inveniri potest lex vis centripetæ quæ corpus in figuræ illius perimetro gyrari faciet. Nimirum computandum est solidum huic vi reciproce proportionale. Ejus rei dabimus exempla in problematis sequentibus.
Prop. VII. Prob. II.
Gyretur corpus in circumferentia circuli, requiritur lex vis centripetæ tendentis ad punctum aliquod in circumferentia datum.
Esto circuli circumferentia SQPA, centrum vis centripetæ S, corpus in circumferentia latum P, locus proximus in quem movebitur Q. Ad diametrum SA & rectam SP demitte perpendiculi PK, QT, & per Q ipsi SP parallelam age LR occurrentem circulo in L & tangenti PR in R, & coeant TQ, PR in Z. Ob similitudinem triangulorum ZQR, ZTP, SPA erit RP quad. (hoc est QRL) ad QT quad. ut SA quad. ad SP quad. Ergo æquatur QT quad. Ducantur hæc æqualia in , & punctis P & Q coeuntibus, scribatur SP pro RL. Sic fiet . æquale . Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut , id est (ob datum SA quad.) ut quadrato cubus distantiæ SP. Quod erat inveniendum.
Prop. VIII. Prob. III.
Moveatur corpus in circulo PQA: ad hunc effectum requiritur lex vis centripetæ tendentis ad punctum adeo longinquum, ut lineæ omnes PS, RS ad id ductæ, pro parallelis haberi possint.
A circuli centro C agatur semidiameter CA parallelas istas perpendiculariter secans in M & N, & jungantur CP. Ob similia triangula CPM, & TPZ, vel (per Lem. VIII.) TPQ, est CPq. ad PMq. ut P Qq. vel (per Lem. VII.) PRq. ad QTq. & ex natura circuli rectangulum QR×RN+QN æquale est PR quadrato. Coeuntibus autem punctis P, Q fit RN+QN æqualis 2PM. Ergo est CP quad. ad PMquad. ut QR×2PM ad QT quad. adeoq; æquale , & æquale Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce ut hoc est (neglecta ratione determinata ) reciproce ut
PMcub. Q.E.I.
Scholium.
Et simili argumento corpus movebitur in Ellipsi vel etiam in Hyperbola vel Parabola, vi centripeta quæ sit reciproce ut cubus ordinatim applicatæ ad centrum virium maxime longinquum tendentis.
Prop. IX. Prob. IV.
Gyretur corpus in spiral PQS secante radios omnes SP, SQ, &c. in angulo dato: Requiritur lex vis centripetæ tendentis ad centrum spiralis.
Detur angulus indefinite parvus PSQ, & ob datos omnes angulos dabitur specie figura SPQRT. Ergo datur ratio estq; ut QT, hoc est ut SP. Mutetur jam utcunq; angulus PSQ, & recta QR angulum contactus QPR subtendens mutabitur (per Lemma XI.) in duplicata ratione ipsius PR vel QT. Ergo manebit eadem quæ prius, hoc est ut SP. Quare est ut SP cub. id est (per Corol. Theor. V.) vis centripeta ut cubus distantiæ SP. Q. E. I.
Lemma XII.
Parallelogramma omnia circa datam Ellipsin descripta esse inter se æqualia. Idem intellige de Parallelogrammis in Hyperbola circum diametros ejus descriptis.
Constat utrumq; ex Conicis.
Prop. X. Prob. V.
Gyretur corpus in Ellipsi: requiritur lex vis centripetæ tendentis ad centrum Ellipseos.
Sunto CA, CB semiaxes Ellipseos; GP, DK diametri conjugatæ; PF, Qt, perpendicula ad diametros; Qv ordinatim applicata ad diametrum GP; & si compleatur parallelogrammum QvRP, erit (ex Conicis) PvG ad Qv quad. ut PC quad. ad CD quad. & (ob similia triangula Qvt, PCF) Qv quad. est ad Qt quad. ut PC quad. ad PF quad. & conjunctis rationibus, PvG ad Qt quad. ut PC quad. ad CD quad. & PC quad. ad PF quad. id est vG ad ut PCquad. ad . Scribe QR pro Pv, & (per Lemma xii.) BC×CA pro CD×PF, nec non (punctis P & Q coeuntibus) 2PC pro vG, & ductis extremis & medijs in se mutuo, fiet æquale . Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce ut , idest(obdatum
2BCq.×CAq.) ut , hoc est, directe ut distantia PC. Q. E. I.
Corol. 1. Unde vicissim si vis sit ut distantia, movebitur corpus in Ellipsi centrum habente in centro virium, aut forte in circulo, in quem Ellipsis migrare potest. Corol. 2. Et æqualia erunt revolutionum in Figuris universis circa centrum idem factarum periodica tempora. Nam tempora illa in Ellipsibus similibus æqualia sunt per Corol. 3 & 7 Prop. IV: In Ellipsibus autem communem habentibus axem majorem, sunt ad invicem ut Ellipseon areæ totæ directe & arearum particulæ simul descriptæ inverse; id est ut axes minores directe & corporum velocitates in verticibus principalibus inverse, hoc est ut axes illi directe & ordinatim applicatæ ad axes alteros inverse, & propterea (ob æqualitatem rationum directarum & inversarum) in ratione æqualitatis.
Scholium.
Si Ellipsis, centro in infinitum abeunte, vertatur in Parabolam, corpus movebitur in hac Parabola, & vis ad centrum infinite distans jam tendens, evadet æquabilis. Hoc est Theorema Galilei. Et si Conisectio Parabolica, inclinatione plani ad conum sectum mutata, vertatur in Hyperbolam, movebitur corpus in hujus perimetro, vi centripeta in centrifugam versa.