Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/76

Integratio $\int yd\varphi ={\tfrac {tu'-ut'}{r(tt+uu)}}$ eatenus tantum est integratio vera, i.e. summatio, quatenus inter limites, per quos extenditur, $y$ ubique est quantitas finita, absurda autem, si inter illos limites $y$ alicubi infinita evadit. Si integrale tale $\int \eta d\xi ,$ quod generaliter loquendo exhibet aream inter lineam abscissarum atque curvam, cuius ordinata $=\eta$ pro abscissa $\xi ,$ secundum regulas suetas evolvimus, continuitatis immemores, saepissime contradictionibus implicamur. E.g. statuendo $\eta ={\frac {1}{\xi \xi }},$ analysis suppeditat integrale $=C-{\frac {1}{\xi }},$ quo area recte definitur, quamdiu curva continuitatem servat; qua pro $\xi =0$ interrupta, si quis magnitudinem areae inde ab abscissa negativa usque ad positivam inepte rogat, responsum absurdum a formula feret, eam esse negativam. Quid autem sibi velint haec similiaque analyseos paradoxa, alia occasione fusius persequemur.

Hic unicam observationem adiicere liceat. Propositis absque restrictione quaestionibus , quae certis casibus absurdae evadere possunt, saepissime ita sibi consulit analysis, ut responsum ex parte vagum reddat. Ita pro valore integralis $\iint ydrd\varphi$ ab $r=e$ usque ad $r=f,$ atque a $\varphi =E$ usque ad $\varphi =F$ extendendi, si valor ipsius ${\tfrac {u}{t}}$

$${\begin{array}{ccccc}{\text{pro}}&r=e,&\varphi =E,&{\text{designatur per}}&\theta \\&r=e,&\varphi =F,&.\dots .&\theta '\\&r=f,&\varphi =E,&.\dots .&\theta ''\\&r=f,&\varphi =F,&.\dots .&\theta '''\end{array}}$$

per operationes analyticas facile obtinetur

$$\mathrm {Arc.tang} \theta -\mathrm {Arc.tang} \theta '-\mathrm {Arc.tang} \theta ''+\mathrm {Arc.tang} \theta '''$$

Revera quidem integrale tunc tantum valorem certum habere potest, quoties $y$ inter limites assignatos semper manet finita: hic valor sub formula tradita utique contentus, tamen per eam nondum ex asse definitur, quoniam $\mathrm {Arc.tang.}$ est functio multiformis, seorsimque per alias considerationes (haud quidem difficiles) decidere oportebit, quinam potissimum functionis valores in casu determinato sint adhibendi. Contra quoties $y$ alicubi inter limites assignatos infinita evadit, quaestio de valore integralis $\iint ydrd\varphi$ absurda est: quo non obstante si responsum ab analysi extorquere obstinaveris, pro methodorum diversitate modo hoc modo illud reddetur, quae tamen singula sub formula generali ante tradita contenta erunt.

---