Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/75

$$x=g(\cos G+\sin G.\surd {-1}){\text{, }}x=g(\cos G-\sin G.\surd {-1})$$ valorem $0$ obtinet, et proin indefinite per $$x-g(\cos G+\sin G\surd {-1}){\text{, nec non per }}x-g(\cos G-\sin G.\surd {-1})$$ divisibilis erit. Quoties non est $\sin G=0,$ neque $g=0,$ hi divisores sunt inaequales, et proin $X$ etiam per illorum productum $$xx-2g\cos G.x+gg$$ divisibilis erit, quoties autem vel $\sin G=0$ adeoque $\cos G=\pm 1,$ vel $g=0,$ illi factores sunt identici scilicet $=x\mp g$. Certum itaque est, functionem $X$ involvere divisorem realem secundi vel primi ordinis, et quum eadem conclusio rursus de quotiente valeat, $X$ in tales factores complete resolubilis erit. Q.E.D.

4.

Quamquam in praecedentibus negotio quod propositum erat, iam plene perfuncti simus, tamen haud superfluum erit, adhuc quaedam de ratiocinatione art. 2 adiicere. A suppositione, $t$ et $u$ pro nullis valoribus indeterminatarum $r,\varphi$ intra limites illic assignatos simul evanescere, ad contradictionem inevitabilem delapsi sumus, unde ipsius suppositionis falsitatem conclusimus. Haec igitur contradictio cessare debet, si revera adsunt valores ipsarum $r,$ $\varphi ,$ pro quibus $t$ et $u$ simul fiunt $=0.$ Quod ut magis illustretur, observamus, pro talibus valoribus fieri $tt+uu=0,$ adeoque ipsam $y$ infinitam, unde haud amplius licebit, integrale duplex $\iint ydrd\varphi$ tamquam quantitatem assignabilem tractare. Generaliter quidem loquendo, denotantibus $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta ,$ indefinite coordinatas punctorum in spatio, integrale $\iint ydrd\varphi$ exhibet volumen solidi, quod continetur inter quinque plana, quorum aequationes sunt $$\xi =0{\text{, }}\eta =0{\text{, }}\zeta =0{\text{, }}\xi =R{\text{, }}\eta =360^{o}$$ atque superficiem, cuius aequatio $\zeta =y,$ considerando eas partes tamquam negativas, in quibus coordinatae $\zeta$ sunt negativae. Sed tacite hic subintelligitur, superficiem sextam esse continuam, qua conditione cessante, dum $y$ evadit infinita, utique fieri potest, ut conceptus ille sensu careat. In tali casu de integrali $\iint ydrd\varphi$ colligendo sermo esse nequit, neque adeo mirandum est, operationes analyticas coeco calculo ad inania applicatas ad absurda perducere.