Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/74

per $\Omega$ denotabimus, idem prodire debebit, sive integratio primo instituatur secundum $\varphi$ ac dein secundum $r,$ sive ordine inverso. At habemus indefinite, considerando $r$ tamquam constantem,

$$\int yd\varphi ={\tfrac {tu'-ut'}{r(tt+uu)}}$$

uti per differentiationem secundum $\varphi$ facile confirmatur. Constans non adiicienda, siquidem integrale a $\varphi =0$ incipiendum supponamus, quoniam pro $\varphi =0$ fit ${\tfrac {tu'-ut'}{r(tt+uu)}}=0$. Quare quum manifesto ${\tfrac {tu'-ut'}{r(tt+uu)}}$ etiam evanescat pro $\varphi =360^{o},$ integrale $\int yd\varphi$ a $\varphi =0$ usque ad $\varphi =360^{o}$ fit $=0,$ manente $r$ indefinita. Hinc autem sequitur $\Omega =0.$

Perinde habemus indefinite, considerando $\varphi$ tamquam constantem,

$$\int ydr={\frac {tt'+uu'}{tt+uu}}$$

uti aeque facile per differentiationem secundum $r$ confirmatur; hic quoque constans non adiicienda, integrali ab $r=0$ incipiente. Quapropter integrale ab $r=0$ usque ad $r=R$ extensum fit per ea, quae in art. praec. demonstrata sunt, $={\frac {TT'+UU'}{TT+UU}}$ adeoque per theorema art. praec. semper quantitas positiva pro quolibet valore reali ipsius $\varphi$. Hinc etiam $\Omega$, i. e. valor integralis

$$\int {\tfrac {TT'+UU'}{TT+UU}}d\varphi$$

a $\varphi =0$ usque ad $\varphi =360^{o},$ necessario fit quantitas positiva^[1]. Quod est absurdum, quoniam eandem quantitatem antea invenimus $=0:$ suppositio itaque consistere nequit, theorematisque veritas hinc evicta est.

3.

Functio $X$ per substitutionem $x=r(\cos \varphi +\sin \varphi \surd {-1})$ transit in $t+u\surd {-1}$ nec non per substitutionem $x=r(\cos \varphi -\sin \varphi .\surd {-1})$ in $t-u\surd {-1}.$ Quodsi igitur pro valoribus determinatis ipsarum $r,$ $\varphi ,$ puta pro $r=g,$ $\varphi =G,$ simul provenit $t=0,$ $a=0$ (quales valores exstare in art. praec. demonstratum est), $X$ per utramque substitutionem

1. Uti iam per se manifestum est. Ceterum integrale indefinitum facile eruitur $=m\varphi +45^{o}-\mathrm {arc.tang} {\tfrac {U}{T}}$, atque aliunde demonstrari potest (per se enim nondum obvium est, quemnam valorem ex infinite multis functioni multiformi $\mathrm {arc.tang} {\tfrac {U}{T}}$ competentibus pro $\varphi =360^{o}$ adoptare oporteat), huius valorem usque ad $\varphi =360^{o}$ extensum statui debere $=m\times 360^{o}$ sive $=2m\pi$. Sed hoc ad institutum nostrum non est necessarium.