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18.

Si itaque e valoribus determinatis ipsarum $u,$ $x,$ puta ex $u=U,$ $x=X,$ prodire supponimus

$${\tfrac {dZ}{dx}}=X',{\tfrac {dZ}{du}}=U'$$

erit identice

$$F(U+wX',X-wU')=F(U,X).\psi (U,X,w,L',L'',L'''{\text{ etc.}})$$

Quoties $U'$ non evanescit, statuere licebit

$$w={\tfrac {X-x}{U'}}$$

unde emergit

$$F(U+{\tfrac {XX'}{U'}}-{\tfrac {X'x}{U'}},x)=F(U,X).\psi (U,X,{\tfrac {X-x}{U'}},L',L'',L'''{\text{ etc.}})$$

quod etiam ita enunciare licet:

Si in functione $Z$ statuitur $u=U+{\tfrac {XX'}{U'}}-{\tfrac {X'x}{U'}},$ transibit ea in

$$F(U,X).\psi (U,X,{\tfrac {X-x}{U'}},L',L'',L'''{\text{ etc.}})$$

19.

Quum in casu eo, ubi non est $P=0,$ determinans functionis $Z$ sit functio indeterminatae $x$ per se non evanescens, manifesto multitudo valorum determinatorum ipsius $x,$ per quos hic determinans valorem $0$ nancisci potest, erit numerus finitus, ita ut infinite multi valores determinati ipsius $x$ assignari possint, qui determinanti illi valorem a $0$ diversum concilient. Sit $X$ talis valor ipsius $x$ (quem insuper realem supponere licet). Erit itaque determinans functionis $F(u,X)$ non $=0$, unde sequitur, per theorema II. art. 6 , functiones

$$F(u,X){\text{ et }}{\tfrac {dF(u,X)}{du}}$$

habere non posse divisorem ullum communem. Supponamus porro, exstare aliquem valorem determinatum ipsius $u,$ puta $U$ (sive realis sit, sive imaginarius i.e. sub forma $g+h\surd {-1}$ contentus), qui reddat $F(u,X)=0,$ i.e. esse $F(U,X)=0.$ Erit itaque $u-U$ factor indefinitus functionis $F(u,X),$ et proin functio ${\tfrac {dF(u,X)}{du}}$ eerto per $u-U$ non divisibilis. Supponendo itaque, hanc functionem