Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/60

At seposita tali argumentatione, quam ad instar art. 6 a petitione principii proficisci manifestum est, statim ad demonstrationem stabilem theorematis art. 12 explicandam progredimur.

14.

Determinans functionis $\zeta$ erit productum ex omnibus differentiis inter binas $(a+b)x-ab$, quarum differentiarum multitudo est

$${\tfrac {1}{2}}m(m-1)\left({\tfrac {1}{2}}m(m-1)-1\right)={\tfrac {1}{4}}(m+1)m(m-1)(m-2)$$

Hic numerus itaque indicat ordinem determinantis functionis $\zeta$ respectu indeterminatae $x.$ Determinans functionis $z$ quidem ad eundem ordinem pertinebit: contra determinans functionis $Z$ utique ad ordinem inferiorem pertinere potest, quoties scilicet quidam coëfficientes inde ab altissima potestate ipsius $x$ evanescunt. Nostrum iam est demonstrare, in determinante functionis $Z$ omnes certo coëfficientes evanescere non posse.

Propius considerando differentias illas, quarum productum est determinans functionis $\zeta ,$ deprehendemus, partem ex ipsis (puta differentias inter binas $(a+b)x-ab$ tales, quae elementum commune habent) suppeditare

$${\text{ productum ex omnibus }}(a-b)(x-c)$$

e reliquis vero (puta e differentiis inter binas $(a+b)x-ab$ tales, quarum elementa diversa sunt) oriri

$${\text{ productum ex omnibus }}(a+b-c-d)x-ab+cd,{\text{ exclusis repetitionibus.}}$$

Productum prius factorem unumquemque $a-b$ manifesto $m-2$ vicibus continebit, quemvis factorem $x-c$ autem $(m-1)(m-2)$ vicibus, unde facile concludimus, hocce productum fieri

$$=\pi ^{m-2}{\mathfrak {u}}^{(m-1)(m-2)}$$

Quodsi ita productum posterius per $\rho$ designamus, determinans functionis $\zeta$ erit

$$=\pi ^{m-2}{\mathfrak {u}}^{(m-1)(m-2)}\rho$$

Denotando porro per $r$ functionem indeterminatarum $x,$ $l',$ $l'',$ $l'''$ etc. eam, quae transit in $\rho$ per substitutiones $l'-\lambda ',$ $l''-\lambda '',$ $l'''-\lambda '''$ etc., nec non per $R$